41 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 301 



e il gruppo Cr m _! ha trasformazioni generatrici del tipo 



>\A dove ^=0 



La Aav da; f 



(Cfr. la mia meni.: Sugli spazii a un numero qualunque di dimensioni che ammettono 

 un gruppo continuo di movimenti, § 1°, " Annali di Matematica „, 1902). Se indi- 

 chiamo con 



H =I>i 



la w-esima trasformazione generatrice di G m oltre a quelle di 6r m _, sarà per l'ipotesi 

 fatta n, =0. Sia ora u il parametro di similitudine di questa trasformazione; sarà 



a' ik = [xa ik 

 e in particolare 



a'u = M«n 



ossia (poiché « u =l, a lk — se fc=f=l, r)i = 0): 



= |*. 



Quindi anche H è un movimento; il gruppo G m è tutto formato di movimenti. 



Ritorniamo ora al nostro problema; siccome il G 3 supposto non è un gruppo 

 di puri movimenti, non potrà per il teorema precedente essere intransitivo; ossia, 

 posto : 



X, 



La *' T > 



dovrà essere S^O. Per gli spazii (43) troviamo per (45) che sarà: 



^L = È!l — o- ò ^-=a- ^- = c- ò -^- = b- ^*- = d 



dx, à.r 3 ' dx? ' òx 3 ' *x 3 ' <Vr, 



e quindi, indicando con Hi, 12,13 delle funzioni di x t , avremo: 



X 3 = m -$£ + («e, + c« 3 + lo) -^r + (&*2 + cfe 3 + n 3 ) ^ • 



Indichiamo con 2u la costante di similitudine per questa trasformazione. Otter- 

 remo dalle: 



a' n =2\xa n ; «' 12 =2u« 12 ; «r/ 13 = 2ua 13 

 che: 



2ti' 1 (» 1 ) = 2u on'a -f Pi'* = rn's + Pn' a = 



ossia, poiché ay — 3 2 > 



n'i(.*'i) = M n's = Tl'3 = °- 

 Cambiando il parametro x x in x y + cost , moltiplicando la X 3 per un conveniente 



