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Poiché le X u X 2 sono linearmente indipendenti, potremo, per i teoremi di Lio, porre 

 nel primo caso 



^ * = £' X >=h< 



Nel secondo caso potremo porre 



Nel caso (41), indicando con u la costante di similitudine di ar s , avremo: 



ò '. „ ògg 



da -, c\i_, ^ ,k 



ossia 



dove le c, fc sono funzioni di ,r 3 . Nel caso (42) troveremo, con notazioni analoghe, 

 dai* __, dn,t , à(e-*s) . d(f — *0 rt 



^- = M «, e -^-gj- + «., -^- + aw ^ = 

 donde 



rt u = e."*»c u (a; s ); a 13 = e."-^,..^); a 33 = f"'V :;:j (.r s ) 



«12 = «-"H^ic^^s) + c 12 (.r 3 )] a 32 = ef^ixiCuixs) + c 23 (* 3 )] 

 ,/,,„ = e/*" [2aj,Ci 2 (a!3) + c 22 (a; 3 ) + ajfc ls (a; 8 )] . 



Spazzi 8 3 che ammettono un S 3 di similitudini. Essi ammetteranno un gruppo G 2 

 di movimenti; perciò (Bianchi, loc. cit.) il loro elemento lineare si potrà supporre 

 di uno dei due tipi: 



(43) ds 2 = dx\ + adx\ + 2$dx 2 dx s + i<!r 



(44) ds' 2 = dx\ -4- adxi -j- 2({5 — ax 2 )dx 2 dx :i -4- {axì — 2$x 2 -4- i)dx\ 



dove a, (5, T sono funzioni di x 1 . Nel primo caso il G 2 corrispondente è generato 



dalle Xi = - — , -3T 2 = -r — ; nel secondo caso dalle X 1 = a — ; À' 2 =e 2!3 . . Poiché 



noi trascuriamo il caso in cui il G 3 sia tutto composto di movimenti (che allora si 

 ritornerebbe al problema del Prof. Bianchi) questo G 2 è un sottogruppo invariante 

 del nostro G 3 ; cosicché se X 3 è una terza trasformazione infinitesima di questo 

 gruppo, indipendente da X u X 2 avremo delle equazioni del tipo : 



(45) ( X t X 3 ) = aX t + bX 2 (X 2 X 3 ) = cX, + dX 2 



dove a, b, e, d sono costanti. Prima di procedere oltre nella discussione dimostreremo 

 un altro teorema generale: 



Se uno spazio S„ ammette un gruppo G m di similitudini, e questo un sottogruppo 

 (?„,_! di movimenti, e se i gruppi G m , G m ^ hanno le stesse varietà minime invarianti 

 V„_ k (k > 0), allora il gruppo G„, è un gruppo di movimenti. 



Infatti in tal caso l'elemento lineare del nostro spazio si può porre sotto la forma 



ds* = dx\ -4- ^ a tli dx,dxi 



