39 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 299 



Ma ora, trattandosi di elementi reali, è 

 (38) la n a kk — 4<4 > 0. (i=¥=k) 



Moltiplicando la (38) per (-%— * — ] 2 otteniamo, 



se t— -5 — =4= 0. Se invece fosse -t — t — = dovremmo nella (39) al posto del 



ÒXi OXk 0X, OXìt v > * 



segno > sostituire il segno = . Ma ora la (39) diventa per la (37) 



Mas) Masr) -W^r) +°»l-sr) J >0 



ossia 



che è un'uguaglianza assurda. E dunque sempre: 



Se dunque fosse p. es. -ì =4= dovrebbe essere 



ossia 



X = X (x'j). 



Cambiando le coordinate, si vedrebbe che dovrebbe essere perciò X = cost, e 

 quindi sarebbe assurda la (35). Ma anche più chiaramente si può procedere così: 

 Ponendo nella (35) t=t=l, fe=)=l si otterrebbe per le (40) 



= a,, ; (*'4=1, A- =4=1) 



uguaglianza, che è evidentemente assurda. È perciò assurda la nostra ipotesi; né 

 quindi potrà mai esistere uno spazio reale con due trasformazioni simili che ammet- 

 tano le stesse traiettorie. 



Premesso questo teorema, noi possiamo ritornare alla nostra questione che è 

 immediatamente risoluta. Siano, p. es., X lt X 2 le due trasformazioni simili dello 

 spazio. Per i noti teoremi di Lie noi potremo supporre o 



(X, X 2 ) = (i oppure (X, X 2 ) = X,. 



Una combinazione lineare delle X 1 , X 2 dovrà essere un puro movimento ; nel 

 primo caso possiamo supporre che questo movimento sia proprio la X 1 ; nel secondo 

 caso potremo supporre che esso sia la X x o la X a . Anzi, poiché il gruppo di movi- 

 menti è invariante nel gruppo totale di similitudini, dovranno essere o ambedue le 

 X a , À' 2 puri movimenti (caso del prof. Bianchi) oppure la X x sarà un movimento. 



