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Questo teorema corrisponde al teorema analogo del prof. Bianchi (Sugli spazzi 

 a tre dimensioni, ecc., " Memorie della Società Italiana delle Scienze „, 1897) che dice 

 non potere esistere uno spazio, che ammetta due movimenti infinitesimi con le stesse 

 traiettorie. Però, mentre il teorema del prof. Bianchi vale in generale, nella dimo- 

 strazione del presente teorema, io farò uso della condizione che lo spazio sia reale : 

 unico caso del resto che c'interessi. La nostra dimostrazione è naturalmente perciò 

 un po' più complicata e distinta da quella, che il prof. Bianchi dà per i gruppi di 

 movimenti (*). 



Siano .Xj , X 2 due trasformazioni simili con le stesse traiettorie ; per il teor. del 

 prof. Bianchi esse non potranno essere ambedue due movimenti. Esisterà però (§ 5) 

 una loro combinazione lineare che è un movimento puro ; e per semplicità diremo A', 

 questa combinazione lineare; indicando con X 2 un' altra combinazione lineare distinta 

 da X, , sarà X 2 una trasformazione simile, ma non un movimento e per essa varranno 

 le formule: a' ik = uà*, dove u è una costante non nulla, che, moltiplicando la X 8 



per — , si può rendere uguale ad 1. Poniamo: 



1 Lj òzi 



dove con n indichiamo il numero delle dimensioni dello spazio; indicando con X una 

 funzione di x 1 ,x t ,...,x n sarà 



*=^±- 



Poiché X t è un movimento, avremo 



E poiché X 2 è una trasformazione simile per cui 1 è il rapporto di similitu- 

 dine, sarà: 



(34) 2i L XEr i^r + a " ~hr + a * -^r J = ""■ ■ 



Sottraendo dalla (34) la (33) moltiplicata per X si ottiene: 



v r r 9X . _ ÒX _ i 



(35) Ll a ' X ^ + ak ' Ir ^.\ = ' U - 



Ponendo nella (35) i = k si ottiene: 

 dX 



(36) 2-^ £«*£, = a ,.. 



Moltiplicando la (35) per 2 ^- ^- e ricordando che per (36) si ha: 



otteniamo 



/«,„■* là* \* i / ÒX 2 n ^ <^ 



(*) Cfr. la mia Nota citata per un teorema più completo. 



