37 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 297 



Lo spazio (2) 



ds 2 = \\i (dx\ — 2 X dx 2 dx 3 ) 



è geodeticamente applicabile per il teor. di Levi-Civita sullo spazio: 



(2') ds'* = H j dy\ — -j- dx 2 dxJ . 



La trasformazione 



- Ò , . Ò Irò" _ Ò I r Ò | - Ò 



dove rii ^ *P +P = ii sarà perciò geodetica su (2'). Io dico ora che essa è per (2') 

 proprio una trasformazione simile. Dal confronto delle (25), (f3) si vede che, poten- 

 dosi supporre u; #= cost, come abbiam già notato, si vede che basterà dimostrare 



che ri, -5— log H è costante ossia che è costante £, r — log — -?-=-. 

 0;/] ° * bx t ° Hi-(-g 



Ma infatti per la (25) è : 



Dunque se esiste un gruppo a un solo parametro, questo si può se 3 a — k =4= 

 supporre senz'altro un gruppo simile. 

 Si può dunque supporre 



3a — k = 



col che la (32) assume la forma più semplice: 

 (32') 2£ 1 £ 1 " = (2E 1 '-À-)*. 



Gli altri casi rientrano in quello degli spazii con un gruppo geodetico tutto 

 formato di similitudini; problema che ora noi tratteremo. 



Come abbiamo testé osservato, per la risoluzione completa del nostro problema, 

 manca ora soltanto la ricerca di quegli S 3 , che ammettono un gruppo geodetico tutto 

 formato di similitudini; perchè, come abbiamo visto, tutti gli altri si riducono ai 

 quattro tipi citati a pag. 30, ai tipi (A), (B), (C) di pag. 33, al tipo definito dalle 

 (31), (27'), (32') e agli spazii a curvatura costante (*). 



Spazii che ammettono un Gj di similitudini. Se con t- indichiamo la trasforma- 

 ne 



zione generatrice, le equazioni — — = u (u cost) danno 



a ik = e-" r ' c ik {x 2l x 3 ). 



Spazii che ammettono un G 2 di similitudini (e che quindi ammettono un G x di 



movimenti). Prima di studiare questo caso, dimostreremo il seguente teorema generale: 



Nessuno spazio può ammettere due trasformazioni simili con le medesime traiettorie. 



(*) Le considerazioni seguenti si potrebbero semplificare, valendoci dei risultati della mia nota 

 sui gruppi conformi, pubblicati negli Atti di codesta Accademia, dopo già cominciata la stampa del 

 presente lavoro ; da essa si deduce che gli spazii ora cercati sono conformemente (non geodeticamente) 

 applicabili sugli spazii, che ammettono puri movimenti. 



Serik II. Tom. LUI. M i 



