296 GUIDO FUBINI 



dove q> è funzione arbitraria di x 2 — x 3 . La (27) 





(27') Di - o = «„ = 2 -||l - * 



dà, sostituita in (25), 



(32) 2E 1 E 1 "=(2E 1 '-i) 2 + (Sa-*) (2 E/ — *). 



.1 ogni integrale Ej di questa equazione alle derivate ordinarie (che si può ridurre 

 facilmente del prim'ordine) corrisponde un corrispondente spazio del tipo (20) cow ««a 

 trasformazione geodetica (29) definito dalle (27'), (31). 



E noi ci chiediamo: Quando mai un tale spazio ammetterà anche un gruppo 

 geodetico a più di un parametro, ossia ammetterà qualche trasformazione simile? 

 Per i teoremi I, II, III teste dimostrati ciò potrà avvenire soltanto in tre casi. 



I) La funzione qp è tale che le x 1 = cost ammettano anche qualche movi- 

 mento, che sarà anche un movimento della q> 3 ; dalla nota precedente lo studio di 

 questo caso è esaurito. 



II) La funzione a n definita dalla (27') è della forma he òr ' (h,b costanti). Il nostro 



spazio ammetterebbe in tal caso le trasformazioni simili -^- e S 2 -^- + h^~ , quando 



E 2 ^ f-£ 3 —^— fosse il più generale movimento infinitesimo ammesso eventualmente 



dalle Xi = cost. Tratteremo a parte il caso di ò = ossia di a n = cost; ma sup- 

 posto ò=t=0 è per la (27') 



-fr = l + ir^ ossia E^e+A^ + JLe*,, 



dove e è una nuova costante. Sostituendo in (32) si trova h = Q e quindi a u = 0, 

 ciò che è assurdo. Di questo caso è perciò inutile occuparci. 



Ili) La funzione a n definita dalla (27') è della forma hxf (h,b costanti). Esclu- 

 deremo il caso in cui fosse ò = ossia a n = cost. E ne trarremo in modo analogo 

 al precedente: 



»»+-! -&=i + i*? *.=«+£«.+-!-&• 



Nel primo di questi casi si trova, sostituendo, l'eguaglianza assurda h = 0. Nel 

 secondo si trova, ricordando che b =1= — 1, b =4- 0, sostituendo in (32) che deve essere 

 b = — 2. E perciò si ritorna al caso (A) già studiato. 



Ed anche del caso a u = cost è inutile occuparci, perchè esso rientra nel tipo (C) 

 precedente. Ci basta perciò determinare ora soltanto quelli dei nostri spazii che. am- 

 mettono oltre agli eventuali movimenti delle x t = cost un gruppo geodetico a non 

 più di un parametro; e bisogna perciò integrare la non semplice equazione (32). Noi 

 ci serviremo del seguente artificio per semplificarla: Se non si considerano distinti 

 spazii geodeticamente applicabili si può supporre nella (32) 3 a — k = 0. Sia infatti 



3 a — k =4= 0; poniamo per semplicità U— a = M/;P = 3a — ft; dy x = 77=4=; H = ,jrjpjr 



