35 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 295 



come trasformazione simile, quando £ 2 ~i H^'~S — sia la più generale eventuale trasfor- 

 mazione simile di 



ds- = — 2\dx% '/>',; 



per cui " 2 „ sia il rapporto di similitudine, ossia tale che 



r 2 IT ""■" £S "dlT ) ( Xrf *2^) = 2 Xffa 2 ' / '' ■ 



Abbiamo così determinati tutti i casi, in cui uno spazio (20) può ammettere 

 una trasformazione simile (oltre al caso in cui (20) fosse a curvatura costante). 



E ne otteniamo subito: 



Il precedente tipo (B) non potrà ammettere altre trasformazioni geodetiche che se 

 le x t = cost ammettono dei movimenti (che saranno in tal caso dei movimenti per tutto 

 lo spazio), ossia se le x y = cost sono di rotazione o a curvatura costante. 



Il tipo (A) rientrn nel ci/so del teor. Ili precedente ; esso non potrà ammettere altre 

 trasformazioni geodetiche dir nel <'<iso in cui le Xi = cost ammettono delle trasformazioni 



simili. Se E 2 -r 1- ^3^ — è ^ a più generale trasformazioni' simile per le x x = cost e se 



con k indichiamo il corrispondente rapporto di similitudine, sarà — -e f- £*-k- — h £3^ — 



la più generale ulteriore trasformazione geodetica per gli spazii del tipo (A), (oltre natu- 

 ralmente alla trasformazione geodetica che abbiamo già determinata). 



Analogamente si trova: Il tipo (C) oltre alla trasformazione geodetica .r t — — e al 



movimento -5 — ammette tutte le trasformazioni simili ammesse eventualmente dalle x, = cost. 

 òr, 



Il nostro studio dei tipi (A), (B), (C) ossia degli spazii (20) che ammettono una 

 trasformazione geodetica (28) è cosi completamente esaurito (*). Ne è più difficile Io 

 studio di quelli, che ammettono una trasformazione (29). La (26) dimostra in tal caso 



che -^ 1 — - — deve essere simile per ds 2 = — 2\dx 2 dx 3 ; integrata la (26) ci dà: 



02*2 O^.t 



(31) X = q> (x 2 — x t ) e *«• 



(*) Esso è ricondotto alla ricerca ben facile e nota delle superficie che ammettono un gruppo 

 di similitudini; ecco qui sotto i varii tipi di tali superficie. 



Superficie con un G; di similitudini : ds 1 = dy% -f- dy 1 } (piano). 



Superficie con un G 3 di similitudini (che sono anzi puri movimenti): 



ds i = dy\-\-BeD. t y I dy*a ds 1 = dy* 3 -f- e 2x \fa- s a (sfera e pseudosfera). 



Superficie con un G 2 di similitudini : d& = (y 3 -f- y 3 ) m (dy\ + dy 2 3 ) (in = cost) che ammettono la 



9 d b , d 



r — — t~ e la }' 2 c \- ih 5— • 



òijì oy 3 dyt dy 3 



Superficie con un G, di similitudini: ds* = <p ( — j(t/ a -|- y 3 ) m (dy\ -\- dy\) dove <p I — I è funzione 



arbitraria di — I che ammette la y, t \-y 3 x — . 



yj * ày % Ji ò ;h 



Superficie' che ammettono un G 3 integrabile di similitudini ds' 2 = e x t{dx\-\- dx 2 3 ) che ammettimi) 

 le A- ì 



