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quanto abbiamo già dimostrato, quando mai possono dessi ammettere una trasfor- 

 mazione simile 



3 



a 



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E noi risolveremo dapprima la questione generale: Quando mai lo spazio (20) 

 ammette una trasformazione simile, che sarà necessariamente della forma precedente? 

 Varranno in tal caso chiaramente le (22), (23) in cui si ponga una costante " h „ 

 nei secondi membri al posto di 2J7, + a, [7, + 2a. E la (28) cosi modificata si sdoppia 

 di nuovo in due equazioni; cosicché, indicando al solito con k una nuova costante 

 avremo il sistema : 



E, -K + 2 -**- = h 



MogX. .àlogX + d£, + ò^ = k 



v ' J àx 2 ' à òx 3 ' dx* ' òx 3 



E la prima e l'ultima di queste danno: 

 (y) 2^= k ossia E] = -5- flJj + e (e = cost). 



La (a) dimostra, ciò che sapevamo, che E 2 t^~ + ^3 Tjr è una similitudine per 



le x t = cost, e se ne deduce (ponendo e == k = h = 0). 



I) Lo spazio (20) ammette come similitudini (che sono del risto puri movimenti) 



tutti i movimenti E 2 ^ r~ ^3^ — ammessi eventualmente da ds 2 = — 2\dr.,<l,i,. 



0' r 2 nX 3 



h 



Ponendo k = 0, e 4= si ha Ei = e e per la (3) —^ = — ossia a n =-le s , dove 



fu € 



^ è una costante che, passando a uno spazio simile, o mutando x x in x x -\- cost 

 (se 7* =4= 0), si può rendere uguale ad 1. 



II) Gli spazii (20) dove a n = U l — a = e**' (ò = cost) ammettono la trasfor- 

 mazione simile —- — (-E 2 r — (- E 3 t — , se E 2 "a h 2 3 -r — è il più generale movimento 



di ds 2 = — 2\dx 2 dx s . 



Se A 4=0, allora mutando «1 in asj -f- cost, e moltiplicando la trasformazione per 

 un conveniente fattore, si può fare in (y)A;= 2, e = ossia E, = x t . La (B) dà, allora, 

 integrando : 



U 1 — a = a n = lx\~- 



dove al solito si può fare l=\. Posto h — 2 = ò si ottiene per (a) : 



III) Gli spazii (20) dove sia a n — U x — a = x§ (ò = cost) ammettono 



Ò*l ÒXl ÒX3 



