33 SUI «RUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 293 



Nel caso (28) la (26) dà £ = 0; e X può essere qualunque; per la (27) poi 

 essendo a n =\= 0, si ha . à - =4=0. Eliminando quindi £7, fra le (25), (27) si ottiene: 



(30) Mi" = 3a£/ + 2E/2 



dove per l'osservazione precedente è Ei=f=cost. 



I) Se a = la (30) ci dà integrando, indicando con d, e due costanti (d H= 0) 



2i = 



«, + e ' n (x,-(- C ) 2 - 



Mutando a^ in .<-, + e, si può fare e = ; passando quindi a uno spazio simile 

 si può fare d=l, cosicché si ha infine: 



(A) E 1 = - ; a 11 = -— ì . 



II) Sia a =4= 0. Presa (poiché £ t 4= cost) la E t come variabile indipendente y, 

 la 2/ come incognita z, posto a' = — , la (30) diventa : 



yz' = 2z + 3a 

 ossia 



dz _ dy 



2z + 3a — y "«""" ~ 2 "' 



Integrando e indicando con e una costante si trova: 



a 

 2S t ' — c£ 2 — 3a oppure Ei' = 5- <*• 



Reintegrando e indicando con d un'altra costante, si trova che 



_l/!^ 1 + 4'iWr-M . a _ 12a d / 3^r,+ (i 



oppure 



Si = — ax! + rf «11 = — 3a. 



Nel primo di questi due casi, otteniamo prendendo \/3ca. x x -\- d come parametro 

 delle x, = cost, passando a uno spazio simile e moltiplicando la trasformazione infi- 

 nitesima per un conveniente fattore che si potrà porre: 



(C) 



1 _ & ~" (1 _ e *>f 



Nel secondo caso troviamo, con procedimenti analoghi, che si potrà fare: 



(C) £,=*, «n = l. 



Risolviamo intanto la questione: Quando i tre spazii dei tipi definiti dalle (A), 

 (B), (C) possono ammettere un gruppo geodetico a più di un parametro, ossia, per 



