292 GUIDO FDBINI : ^2 



geodetica di (20) il sistema delle .>\, x 2 , x : . forma il sistema canonico e quindi (§ 5) 

 devono valere le equazioni (3) del § 5, che qui diventano (*) : 



(22) £ 1 7&+ 2 ^T = a + 2 ^ 



(23) ^ + ^ + E 3 A^ + £ + ||= f / 1 + 2« 



■941 ?! = dh = 9£l \ dh = ò£| K ò£a = 



* ' d# 2 òa; 3 da; 2 òx t òx 3 dx, 



Le (2-!) dirimi] appunto che E 2 — ?2 fe), 2 3 = E ;; [x 3 . Di queste forinole io ho 

 anche data la precedente dimostrazione, perchè apparisca più chiaro che il sistema 

 coordinato è per ogni trasformazione geodetica proprio il sistema canonico e si pos- 

 sono quindi applicare le (3) del § 5; ciò che poteva non riuscire abbastanza chiaro 

 per l'indeterminazione, già da noi precisata al § 5, del sistema canonico in questo 

 e in simili casi. Se noi dunque vogliamo trovare tutti gli spazii del tipo (2) oltre a 

 quelli a curvatura costante che ammettono un gruppo geodetico, tale che almeno una 

 delle sue trasformazioni infinitesime non sia conforme, dovremo intanto cercare (piando 

 si possono integrare le (22), (23) con valori non tutti nulli delle E„ E 2 , £ 8 , in cui 

 sia E, = E, (xì). Se noi poi vogliamo cercare quelli degli spazii (2) per cui il gruppo 

 citato sia un gruppo a più di un parametro, dovremo poi determinare quelli tra gli 

 spazii determinati per cui si ammette ancora una trasformazione simile^E, (.r,) — . 



Risolviamo intanto la prima parte di questo problema; ricerchiamo cioè quando 

 è integrabile il sistema delle (22), (23) quando E; (* = 1, 2, 3) sia funzione della 

 sola x t . Si riconosce facilmente che, indicando con k una costante, la (23) si può 

 scrivere : 

 (25) g 1 _El__(U 1 + 2a)=:-* 



, 0R , ? e) log* _i_ z dlog* i dE. i oh _ k 



( 26 ) ^ ^r + 3 ò*s + d* s ^ à*, - A • 



Dalle (22), (25) si ricava 



(27) 2^=U 1 -a + k = a ll + k. 



E il sistema delle (22), (23) è equivalente al sistema delle (25), (26), (27). Poiché 

 noi vogliamo sempre studiare soltanto spazii e trasformazioni reali, le l 2 ,h ° *" IK) 

 ambedue nulle, o sono ambedue differenti da zero; in questo secondo caso potremo 

 (essendo H 2 = i 2 (^2), h—hi^sì), cambiando i parametri delle linee x 2 ,x 3 , supporre 

 E 2 =l, E 3 = l; cosicché la trasformazione geodetica considerata si potrà supporre 

 di uno dei due tipi: 



(28) «iWi 



(29) M*j£4 £ + £• 



(*l Qui, trattandosi di una trasformazione geodetica non conforme, abbiamo posto 7 = 0, p — 1; 

 ciò che abbiamo già notato essere sempre lecito. 



