31 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 291 



L'equazione H — uA = è equivalente alla 



|21, 21| = |23,28| = |81, 81 1 



ossia alle 



(21,21) _ (23,23) _ (31,31) 



e dimostra perciò costante in ogni punto e quindi anche in tutto lo spazio la curva- 

 tura. Escluso questo caso è perciò 



H— MA =4=0 



Chiaramente dunque anche con le variabili dell'elemento (20) avremo indicando 

 con / £, r— la trasformazione geodetica in queste nuove variabili che dovrà essere 



(211 d £ i __ d£| __ fó 2 __ d£ 3 _ q 



> ' dar, dx 3 dx, dx, 



Osserviamo ora che le equazioni: 



122)' _ \33l' _ (32)' U22)' _ 132)' _ 1 (33)' _ . 



\b] —U) ~U) tU) ~"U) 2/3} 



per l'elemento (20') dimostrano per le (21') che r) 2 1- n.3-7— è una trasforma- 

 zione geodetica per le superfìcie x y = cost; se essa fosse conforme, dovrebbe essere 

 £ 2 = £ 2 (x 2 ), £ 3 = £ 3 (x 3 ) perchè le linee di lunghezza nulla dovrebbero restare linee 

 di lunghezza nulla. Se non fosse conforme, potremmo supporre (§ 6) l'elemento lineare 

 delle #i = cost già ridotto alla forma di Lionville e varrebbero equazioni del tipo 

 seguente (dove alle antiche y 3 , n. 3 si sono sostituite le i y 3 , i n 3 ) 



(a) u = U 2 (ij 2 ) — U 3 (y 3 ) 



(T) 2 |J. + "'^-y -1' = U 2 + 2 U a 



0!)2 ^2 <->3 



(b) 



insieme alla 



dia _ dr^ 

 ày 3 <ty a 



Sia __ J^fo 



che si ricava dalle (21'). Quest'ultima equazione unita alle (|$), (y) darebbe U 2 = J7 S 

 e quindi per la (a) u = ; ciò che è assurdo. Si può dunque supporre £ 2 — £ 2 (z 2 ) ; 

 £3 = £3(0:3). 0, più semplicemente, le (21) dimostrano che per ogni trasformazione 



