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Con questa convenzione dunque abbiamo che gli spazii del tipo (1) danni) oltrt gli 

 spazii a curvatura costante <• oltre spazii ••<>» un gruppo di sole similitudini soltanto 

 quattro nuovi casi: il VII, l'VIII, il IX, il X. 



Per trovare tutti i possibili 5 8 che ammettano un gruppo geodetico, non com- 

 pletamente composto di trasformazioni conformi, ora ci basta studiare gli spazii del 

 tipo (2). Per ottenere anche qui delle formule semplici ed eleganti in modo che una 

 trasformazione geodetica 



/—A rVT, 



1 



sia sempre del tipo 



i 



ricorreremo a un semplice artificio; introdurremo cioè come variabili x 2 , x 3 i para- 

 metri delle linee di lunghezza nulla delle x 1 — cost ; dovremo però sempre ricordare 

 (poiché noi trattiamo sempre soltanto del caso, in cui spazio e trasformazioni sono 

 reali) che x 2 , x 3 sono variabili immaginarie coniugate. Così l'elemento (2) diventa 

 del tipo 

 1 20 1 ds 2 = ( Ut — ot ) {dx\ — 2 X dx % dx 3 1 



dove a = cost, 



l\= U l (x 1 ),\ = \(x 2 ,x ì ). 



Scritto sotto forma reale, l'elemento (20) si scrive 



(20') ds- = ( Di — a) [difi — 2 m (ch/l -\ 



dove 



y! = Xi ; x 2 = t/ 2 + i ih ■ ->*3 = ìli — i Ih, : x (- r 2, »s) = M I .'/„• , Jfo I. 

 Posto 



H— 1 /tfMogn , tf logn \ A _ V _3_I_U'_) 2 



2\ dy\ "r" dy\ ) U-a 2 U—a ' 



le equazioni: 



j 23, 23 {' = 5 21, 21 (' ; j 31, 81 }' = 1 32. 32 (' 



J23, 12j' = |82, 13 (' = 



J21, 23 {' = ) SI, 32 J' = 



per l'elemento (20') danno (se indichiamo con X= //li 5— l a supposta trasforma- 

 zione geodetica): 



V , Il - uA) + 2 (H— m A) |^ = X(H— uA) + 2 (H— uA) ^ = 



ry/2 0^3 



(fl- uA)?? = {H _ uAl |1 3 = (ff _ A) *u = (J7 _ A) *k = 



' °</, rtl/, Ò'Jì 02/3 



