27 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 281 



I) Sia p + 2 = 0. La (19) ci darà 



= hdx s (h = cost) 



DifPi-1) 



e si potrà faro, mutando .r 3 in ot 3 -f- cost 



Di 



ossia 



(H) Pi=0 U B =1 U, 



1 — e 1 ' 1 - 



II) Sia invece p -\- 2 =4= 0. Potremo supporre a 3 =0. 

 E la (19) integrata dà, indicando con k, h due costanti 



: V7 = **S - 



ossia 



(i) cr, = o v 2 =i u 3 = 



1 - A:.r 3 " 



E abbiamo dunque: Se uno spazio del tipo I ammette una trasformazione geodetica 

 [oltre al movimento ^— nel caso che una delle U, sia costante <> ai due movimenti 



\ òr, 



-jr— , -v — se Ui, U k sono costanti) esso è geodeticamente applicabile su uno degli spazii 

 di uno dei tipi (A), (B), ...(I) con conservazione del sistema ortogonale x l ,x i ,x 3 ; e 

 quindi dai precedenti si può dedurre con le formule del prof. Levi-Civita. 



Se noi perciò, di tutti questi tipi di spazii, determineremo il gruppo geodetico 

 più ampio, avremo completamente risoluta quella parte della nostra ricerca, che si 

 riferisce agli spazii (1). 



Tipo A) U, = £,.«•;' fi = 1,2, 3) fc,4=0 {h =4=0). 



Sostituendo nelle (16) si trova 



J_ [( p _ 2e).r, + \^hhxt l = qkìxf -f ek.xl + 1 • 

 Supponiamo dapprima /*=i«l. Ne traggiamo 



ti = e = \ (p - 2e). 



Se anche /j=4= — 1 è inoltre ^ = 0, q — Q e si ha la sola trasformazione infini- 

 tesima (conforme) la;, t-. Il caso poi di /* = — 1 si può trascurare, poiché sosti- 

 tuendo alle U { le loro inverse (con che lo spazio resta geodeticamente applicabile 

 su se stesso), si può fare /* = 1. In questo caso la più generale trasformazione geo- 

 detica è 



ò 



\yx,— + u) -r- s— (^. u costanti arbitrarie). 



Lj òr, L-à !', Òx, 



