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Se fosse q = € = 0, allora sarebbe, poiché TJ' 2 =4= 0, U' 3 =j= 0, 



\ 2 = \ 3 = p — 2e = () ossia E, = -~ ; 2 3 = £ 2 = 



e la trasformazione sarebbe la v- . Escluso questo caso possiamo supporre q ed e non 

 contemporaneamente nulli e scrivere l'equazione precedente sotto la forma 



Discutiamo ora la (18). Sia g = 0; sarà allora e =4=0. 



I) 3 e p — 2e = 0; la (18) integrata ci darà indicando con h 2 ,h 3 ,k 2 , k 3 delle 

 costanti : 



(E) &i = 0, U 2 = h 2 <*&, U 3 = h 3 e*#*. 



II) Sia p — 2e=4=0. Aggiungendo alle z 2 , #3 opportune costanti, possiamo 

 tare \ 2 = X 3 = 0; la (18) integrata dà, indicando con h,k 2 ,k 3 delle costanti: 



(F) C, = 0, U 2 = k 2 x\, I 



Sia ora invece g =4= 0. Se fosse e =4= 0, sostituendo alle C, le 1 — £ = F, 



otterremo uno spazio applicabile geodeticamente sul nostro, per cui V 1 =0; e si 

 verificherebbe che la nostra trasformazione sarebbe simile per questo spazio, ossia 

 si tornerebbe ai tipi (E), (F). Supponiamo dunque e == 0. 



I) Sia p = 0; la (18) integrata dà, indicando con k 2 ,k 3 delle costanti 



Ci =0; r =k 2 x 3 ; — = 



tipo che rientra nel precedente per h = — 1 . 



II) Sia p =4=0. Aggiungendo alle x 2 ,x- ò opportune costanti, si può fare \,= 0; 

 le (18) integrate danno indicando con h,k 2l k 3 tre costanti: 



(G) 17, = 0; -~ = hlogk 2 x 2 -^r = h\ogk 3 x 3 . 



Siano ora invece due delle C, costanti, p. es. la C, e la U 2 . 



Passando a uno spazio simile e aggiungendo alle U, una stessa costante si 



potrà fare 



C,= 0; 17,= 1. 



Lo spazio ammetterà intanto i due movimenti t— , -z — . 



Facendo nella (16) successivamente »=1, i = 2, troviamo: 



«1 = 0, e = — q. 



Si riconosce come al solito che per una terza trasformazione infinitesima geo- 

 detica che non appartenga al G 2 generato dai precedenti movimenti la (16) si può 

 scrivere (per i = 3) 



/ , q-v dU z p dri 



1 ' sDi(Di— « (p + '2q)x 3 +\ 3 



dove 5=4=0. Come abbiamo già osservato al § 5 si potrà senz'altro porre 2 = 1. 



