25 SUI GKUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 285 



Poiché nessuna delle U, è costante non potrà per la (16) essere nulla una dello E,, né 

 potrà essere contemporaneamente e = r| = ; e quindi le (16) si potranno scrivere: 



f \ 7 k n 



eUi + r) "" (p— 2€)r, + X, - 



Distingueremo ora parecchi casi. 



I) Sia e =#= , p — 2e ={= ; aggiungendo alle U, una stessa costante e alle x, 

 delle altre costanti potremo fare assumere al sistema (17) la forma: 



(17') d -^ = h^- (A = cost) 



x ' ili xì 



che ci dà 



(A) U, = taf . (A-, = cost) (» = 1, 2, 3) 



II) caso: Sia e = 0, p — 2e=)=0. Mutando lo spazio in uno spazio simile e 

 aggiungendo alle x t convenienti costanti, le (17) si possono ridurre alla forma: 



X, 



donde 



(B) U { = log hXi . {h = cost) (i = 1 , 2, 3) 



III) caso: Sia e— ^ = 0. Indicando con k, delle costanti, le (17) si scrivono 

 sotto la forma: 



dU i = k,dx i 



donde, aggiungendo alle x % convenienti costanti, 



(C) U x = hx, . 



IV) caso: Sia p — 2e = 0, e =4=0. Con i soliti mutamenti si vede che le (17) 

 si possono scrivere: 



l£- = k i dx t (*, = cost) 



donde si trae: 



(D) Ui= h t e kiXi . (h, = cost; k, = cost) {i = 1 . 2, 3) 



Prima di studiare questi 4 tipi passiamo al caso che vi sia qualche Ui costante ; 

 ve ne sia dapprima una sola costante, p. es. la TJ X che si potrà supporre nulla; 

 perchè se fosse p. es. U l =±= basterebbe aggiungere alle U t la — U l per renderla nulla. 

 Noi dovremo ricorrere alle (15), (16). 



Posto nelle (16) s' = l, se ne trae: 



n=0 



cosicché per le U t , U 3 varranno le: 



(18') \ [X, + (p - 2e)*,] U/= U,(qU t + e). (t = 2, 3) 



