GUIDO TUBINI 24 



In tutti i casi è dunque e 1 =€ 2 =e 3 ; Hi— 12— %• Noi potremo perciò senz'altro 

 sopprimere gli indici delle e e delle n. La (12) e la (11') diventano cosi: 



(IT.) E, = \ (p - 2e).r, + *' (/ = 1.2,3) 



(16) ±-[(p-2e)x i + \ i ]U',=;qU i i -\- eUi + r,- (» = 1,2,8) 



E la nostra questione è così ridotta alla facile discussione del sistema (15). (16). 

 Le (15), (16) ci danno però un assai elegante risultato che può servire a semplificare 

 ancora il calcolo. Per ottenerlo notiamo che se q = la trasformazione è, come 

 dimostrano le (10), conforme. Supponiamo ora che sia g=t=0 e che nessuna delie t\ 



sia costante, nel qual caso lo spazio ammetterebbe già il movimento — . Allora cer- 

 tamente aggiungendo a tutte le U, una stessa costante (che può anche essere com- 

 plessa) (ciò che non muta l'elemento lineare (1)) si può fare chiaramente nelle (16) 



n = 0. 



Poiché per ipotesi nessuna delle U { è costante, e quindi nessuna delle nuove U t 

 può essere nulla, potremo mutare le U, in --- . Con questa trasformazione si passa 

 per i risultati di Levi-Civita, ad uno spazio applicabile geodeticamente sul prece- 

 dente. Infatti gli spazii 



sono per le formule già citate al § 5 applicabili geodeticamente. Se noi poniamo 

 ora C, = -=r nelle (10) in cui sia fatto n = 0, troviamo 



(1 6') | [(p - 2e) x, + X,] V\ = - e V, - q. 



Quindi la trasformazione geodetica per il primo spazio iniziale e quindi anche 

 per lo spazio 



Z[U',(V,— V t )]dx\ 



è una trasformazione conforme per questo ultimo spazio, perchè nei secondi membri 

 delle (16') manca il termine in V; 2 . 



Dunque: Se uno spazio del tipo (1) ammette una trasformazione geodetica esso è 

 geodeticamente applicabile su un nitro spazio, per cui questa trasformazione è soltanto 

 una similitudine; esclusi luti' al più quelli ili questi spazii per cui una delle U, è costante 

 e che perciò ammettono un movimento puro. 



Escludiamo perciò il caso che una Ci sia costante ; allora, poiché, com'è evidente 

 per la natura stessa della nostra questione, noi non dobbiamo considerare come 

 distinti due spazii geodeticamente applicabili, basterà che risolviamo il semplice pro- 

 blema di riconoscere quando uno spazio (1) ammette una similitudine, ossia quando 

 è risolubile il sistema delle (15), (16), dove si ponga '/=0. Ciò che si risolve senz'altro. 



