2 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 283 



non dipende da x 2 e quindi per simmetria neppure da x x . Questa espressione è dunque 

 una costante effettiva e 3 e noi potremo porre 



(11) ^:f' =qU 1 + qU a + e a 



oltre alle equazioni analoghe che si ottengono rotando gli indici. 

 La (10) diventa cosi 



(10') 



donde si deduce indicando con \ x , \ 2 , X 3 nuove costanti 



(12) E, = | ( P - e 2 - e 3 )*i + y 

 e le analoghe. La (11) ci dà allora: 



I due membri di questa uguaglianza dipendendo rispettivamente soltanto da x x 

 e da x 2 , saranno ambedue uguali a una stessa costante n 3 . Ripetendo le stesse con- 

 siderazioni, ma scambiando gli indici 2, 3 troviamo così: 



(11') \ i ±( p - e . 2 -e 3 )x 1 ^^U' ì = qU\ + e 3 U l +r ]3 = qU-i+e 2 U 1 + r ]2 



e le analoghe che si ottengono rotando gli indici. Dalla (11') si trae: 



(13) (€3-62)^ + %-n^O. 



Cosicché se non è ?7 1 =cost, sarà €2=63, 1;> = 1'3- Analogamente se U 2 ^=cost, 

 sarà e 1 = e 3 , 11 = 13- Ossia se almeno due delle U x , U 2 , U 3 non sono costanti è 

 €, = € 3 =e 3 , ni=l a =l3. Poiché le U 1 , TJ 2 , U 3 non sono tutte e tre costanti (nel 

 qua! caso lo spazio sarebbe euclideo, ciò che escludiamo), se due delle U, sono 

 costanti, la terza è certamente variabile. Sia p. es. ?7i=f=cost, mentre U 2 , U 3 sono 

 costanti (naturalmente distinte, che altrimenti l'elemento (1) sarebbe degenere). Sarà 

 intanto per la (13) 



(1-1) €2 = £ 3; 12=1:; 



e si avrà poi la seguente equazione analoga alla (13): 



(^-e^+tn, — r, 3 )=:0 

 ossia per (14) 



(e x — e 2 )U 2 + {r ìl -r Ì2 ) = 



(e 1 -e 2 )P 3 + (ni-n 2 ) = 0. 



Poiché U 2 ^=U 3l queste due equazioni danno di nuovo 

 *i=*y, 1i=l2- 



