282 GUIDO FUBINI 22 



mento lineare sotto la forma (1) dove siano verificate le (8). Per lo spazio euclideo 

 ciò è cosa ben nota. Nello spazio ellittico, in cui si usino coordinate di Weierstrass 

 legate dalle x\ + x\ -\- x\ -j- x\ — 1 l'equazione di un sistema triplo ortogonale di qua- 

 driche omofocali si può porre sotto la forma: 



P> ZfeTT = 



dove le k x sono costanti, X è il parametro variabile da quadrica a quadrica del 

 sistema. La (9) si può anche suppone essere l' equazione che determina i valori 

 Xi,X 2 ,X 3 del parametro \ corrispondenti alle 3 quadriche del sistema passanti per 

 un punto 0. Si dimostra allora, con procedimento analogo a quello che si si 

 nello spazio piano, che: 



3 



ds* = dx\ -f- Ciri + dxt + dx\ = ^T TT ' , ^ ) X ' ) d\\ 



1=1 



dove P{\) è un polinomio di quarto grado in X. Mutando i parametri X, nei para- 

 metri I dXi l'elemento lineare diventa appunto della forma (1), dove le V sod- 



J l P(K) 

 disfano alle (8). Abbiamo così trovato in più modi il teorema: 



II sistema canonico relativo a una trasformazione geodetica di uno spazio a curva- 

 tura costante è un sistema di quadriche omofocali (in generale). 



A cui si può aggiungere l'altro, che si dimostrerebbe in maniera analoga: 



Nella rappresentazioni geodetica ili due spazii a curvatura costante l'uno sull'altro 

 esiste (se la rappresentazione non è una similitudi terale uno <■ un solo si 



ortogonale, che si conserva ortogonale. Questo sistema è un sistema di quadriche confocali. 



Esaurito così lo studio del caso A = 0, passiamo al caso di vi =4=0, in cui, come 

 abbiamo dimostrato, è: 



£=g,(x.) (i=l,2,3). 



Allora ogni trasformazione infinitesima geodetica, trasforma in se il sistema triplo 

 ortogonale delle x u x. 2 , x 3 . Questo è dunque senz'altro il sistema canonico relativo a 

 qualsiasi trasformazione infinitesima del gruppo geodetico e varranno quindi per 

 qualsiasi trasformazione geodetica le formule (3) del § 5. Di più se il gruppo ha 

 p. e. r parametri, siccome esso deve per ipotesi contenere almeno una trasformazione 

 geodetica non conforme, possederà (§ 5) se r > 1 un sottogruppo a " r — 1 „ para- 

 metri di similitudini e questo se r > 2 possederà almeno un sottogruppo a " r — 2 „ 

 parametri di movimenti. Scriviamo intanto le equazioni (3) del § 1. Esse diventano: 



( 10) 2-^+ i>n 'rlf' 3 + K*')?* =P + 2gP 1 + g p i r1 r * 



.i'| ' i — U 3 I :: — (-1 



ed analoghe, dove p, q sono costanti. Poiché £, = £,(*,) ne deduciamo che 

 hV^zM±- qUl -qU s 



