21 SUI GRUPPI DI TEASF0EMAZI0N1 GEODETICHE 281 



ossia: 



(5) E, = £.('-.). 



Vediamo un poco che cosa avverrebbe se A = 0. In tal caso dovrebbe essere 

 chiaramente 



(6) \ij, i;| = }»*,«*! 

 e, per simmetria: 



(6') I /*,;'* j = i ;"•>/»( 



(6") )ì-i,ki\ = )kj,kjl. 



Le ultime tre equazioni si possono anche scrivere: 



(/,/, /,/) _ M . .//■■,i^ __ (. /'■■/«) . (A-- »,/-•/) _ (fc/, *-y) 

 «i/i «tt "^ «" "jj 



oppure anche su ito la forma: 



(7) '''■''■''■'■' = ' /;; -''-' = !/ 



^ ' (ludi, OitflWt «;;"/.;. 



che (§ 1) dimostrano essere lo spazio a curvatura costante in ciascun punto e quindi 

 a curvatura assoluta costante. Noi possiamo ora ricercare la natura dell' elemento 

 lineare (1) in questo caso, ossia riconoscere che specie di superficie sono le x 1 ,x 2 ,x s . 

 Se noi procedessimo alla discussione analitica del precedente sistema, troveremmo 

 che esso ci dà (in generale): 



(8) U'i = aU\ + bl T \ + cU\ + d 



dove a, b, e, d sono costanti. Ma assai più rapido e il metodo sintetico. Il sistema 

 coordinato x u x 2 , x 3 per l'elemento (1) è (§ 5) il sistema canonico per una trasfor- 

 mazione g geodetica non conforme del nostro spazio, che ora supponiamo a curva- 

 tura costante. Sia T il suo assoluto e V la varietà trasformata di T per g; nella 

 trasformazione g havvi certamente per ogni punto una (e per ipotesi una sola) terna 

 di rette ortogonali che resta ortogonale anche se trasformata per g (questa terna è 

 precisamente quella delle normali in alle superficie coordinate passanti per 0). Ma 

 questa terna non è che la terna degli spigoli del triedro che ha il vertice in e che 

 è autoconiugato rispetto a T, T, ossia è la terna delle direzioni uscenti da nor- 

 mali (rispetto all'assoluto T) alle quadriche inscritte nella sviluppabile circoscritta a 

 T, T', ossia alle quadriche omofocali con T". 



Il sistema delle x u x 2 , x 3 è dunque un sistema di quadriche omofocali. E osser- 

 viamo di più che la supposta trasformazione infinitesima che ha questo sistema orto- 

 gonale per sistema canonico lo trasforma in se stesso. Ma però naturalmente le altre 

 trasformazioni geodetiche del nostro spazio, che non hanno il sistema coordinato per 

 sistema canonico non sono certamente tutte di questo tipo. 



Viceversa si può dimostrare che preso un sistema di quadriche omofocali come 

 sistema coordinato in uno spazio a curvatura costante, si può in generale porre l'ele- 

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