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§ 7. Risoluzione completa 



del problema di determinare gli spazii a tre dimensioni 



che ammettono un gruppo geodetico. 



Comincieremo intanto a determinare quegli spazii a tre dimensioni che ammet- 

 tono una trasformazione geodetica non conforme, e ne cercheremo poi il gruppo 

 geodetico più ampio. Il resto della ricerca, come è intuitivo e noi rapidamente 

 mostreremo, non presenta poi alcuna difficoltà. 



Se uno spazio a tre dimensioni ammette un gruppo geodetico non conforme, il 

 suo elemento lineare sarà (§ 5) riducibile a una delle due forme seguenti: 



(1) ds 2 = T[T]/(U,-U,)cH\ 



(2) ds 2 — ( U x — a) \dx\ + Edx\ + 2Fdx< i dx-., + Gdxl] 



dove le U, non dipendono che da #,, a è costante, E, F, G non dipendono da x x . 

 Il caso (1) è caratterizzato dalla proprietà di coincidere con l'elemento aggiunto (§ 5). 

 Noi comincieremo dallo studio di questo caso. Si verifica facilmente che tutti i sim- 

 boli a 4 indici relativi ad esso sono nulli, eccetto che i simboli 



|12,12{ = — J12.21J; )23,23( = — ì 23, 32 ( ; |31, 31 < = — J31, 13| . 



Se perciò, indicando con i,j, k i simboli 1, 2, 3 scritti in un ordine qualunque, 

 scriviamo (§ 3) l'equazione: 



5 ij, ki \' = 

 otteniamo l'equazione 



(3) [|<M*l-l*;,i;|]H- = o. 



Si verifica facilmente che 

 [ ' {Uj—m)au 



è simmetrica nei tre indici i,j,k; noi la indicheremo con A; cosicché la (3) si scrive: 



J^ = 0. 



Analogamente avremo per simmetria: 



A *!l = o A P- = 



A^- = A^ = 

 Se dunque A=¥§ sarà certamente 



A — 



òxj 



da-j d?k à-c, ò-r, dar, d.n 



