19 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 279 



e le analoghe, otteniamo, dopo facili riduzioni, l'equazione: 



W ' t £l I " ' iC,-r,f 2 (Ui-Utfl ^ da:, \ D,-D, 2(,D-D 8 ) S /J 



+ 'TW.-W 2 lOi-DiJV 9x s Id 3 -D, 2 (D S -D,) 3 JJ 



__ 3 ft f PJPJ' \ ■ 1 /ir I nrrW Pi" 3 D, a \ 



-T-^Tl^ai' + T^ + ^^H Di-Di 2 (D,-D 2 )»J 



-1(^ + 2^)1 



Quando mai questa equazione può essere identica? Si vede che in tal caso 

 potremmo integrare le (1) prefissando a piacere i valori iniziali di E l7 E 2 , — A = ~ 

 E poiché Ej = S 2 = non è una soluzione del sistema (1) avremmo quattro trasfor- 

 mazioni infinitesime linearmente indipendenti geodetiche non conformi con lo stesso 

 sistema canonico ; la superficie ammetterebbe perciò almeno un G 3 di similitudini e 

 quindi almeno un G. 2 di movimenti e sarebbe perciò a curvatura costante. Notiamo 

 anzi che, essendo nelle (1) nulla la costante q che compare nelle equazioni generali (?>) 

 del § 5 si potrebbe facilmente riconoscere che il G 3 teste citato è addirittura un 

 gruppo di movimenti. 



La (2) si può supporre perciò non identica; noi potremo risolverla rispetto E t o E 2 , 

 e sostituire poi nelle (1). Troveremo così p. es. le derivate di S 2 in funzione lineare 

 della E g stessa; anzi una delle derivate sarà data sotto due forme. 



La condizione di integrabilità e la condizione che le derivate siano ben deter- 

 minate daranno infine cosi due equazioni lineari per E 2 . Se esse fossero identità, vor- 

 rebbe dire che il valore iniziale di E 2 è indeterminato; la superficie ammetterebbe 

 almeno due trasformazioni infinitesime con lo stesso gruppo canonico; e perciò per 

 l'osservazione precedente, sarebbe una superficie di rotazione che ammette un G l 

 geodetico non conforme (oltre al G 1 di movimenti). Se esse invece non fossero iden- 

 tità, si otterrebbe da esse la determinazione di £ 2 e quindi per la (2) di l u ecc. ecc. 

 Risostituendo i valori così trovati di t x e H 2 nelle (1), si avrebbero equazioni in '',. 

 U 2 che integrate risolverebbero il nostro problema. Si noti ancora che i calcoli si 

 possono un po' abbreviare, quando si pensi che le equazioni tra l\ e U 2 sono equa- 

 zioni tra funzioni di due variabili indipendenti tra di loro. Io non svilupperò tutti i 

 calcoli, facendo soltanto osservare qual è la causa che rende il nostro metodo più 

 semplice di quello di Lie. Essa è semplicemente questa, che mentre il Lie dà equa- 

 zioni che valgono per ogni trasformazione geodetica, noi scindiamo il problema cer- 

 cando una alla volta queste possibili trasformazioni e dando equazioni che valgono 

 solo per una di esse, considerata indipendente dalle altre. La rapidità dei nostri me- 

 todi si riconoscerà meglio in un caso specialmente importante, nel caso cioè di w = 3, 

 che vogliamo ora trattare completamente. 



