GUIDO FCBINI 



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versa se Y è la pia generale trasformazione simile di uno spazio in sé, e X è 

 una trasformazione geodetica non conforme, le trasformazioni infinitesime X + jiY, dove 

 jì = cost, ammettono uno stesso sistema canonico; nessun' altra trasformazione geodetica 

 dello spazio ammette lo stesso sistemo canonico. 



§6. Applicazione dei risultati precedenti al problema di Lie. 



Noi vogliamo ora indicare come i precedenti risultati conducano a un metodo 

 diretto per risolvere il problema di Lie, cioè a trovare quelle superficie che ammet- 

 tono un gruppo geodetico. Noi non svilupperemo tutti i calcoli, che dopo i risultati 

 del Koenigs e del Raffy non avrebbero più alcun interesse, ne tratteremo completa- 

 mente il problema. Ci arresteremo soltanto al punto fondamentale della questione, 

 quello appunto di cui il Lie non riuscì a trionfare, alla ricerca cioè delle superficie 

 che ammettono una trasformazione geodetica non conforme. Ci varremo appunto delle 

 formule del § 5. Scriviamo l'elemento lineare della superficie sotto la forma: 



ds* = (U ì — U 2 ){dx* — dx%\ 



dove l\ è funzione di x u U 2 è funzione di x 2 - t x 2 si deve supporre puramente imma- 

 ginario, se si suppone ^j reale. Le equazioni del § 5 assumono la forma (ricordiamo 

 che si può fare p = 1, q — 0): 



a' ll = a ll (2U l + £-,); a'„ = a w {U 1 + 2U t ) i o' 12 = 

 ossia : 



O <^l , ì,U,' — Ì 2 C 2 9 r- _l_ TT 



(i) ,--^.;v : ^^r 1 + 2^ 



I te, _ te. _ 



~ * bx, 



Queste equazioni sono molto più semplici di quelle da cui parte il Lie, che natu- 

 ralmente contengono le derivate seconde delle E. 

 Da esse discende : 



_ ò 2 | te, 

 òxidrs \ fa dxidx 3 \ òm 



ossia: 



d* i „ te, \ __ _ dj I , } te 



Sostituendo a 2 ^'-,2-'^ i valori che si traggono da (1). eseguendo le opera- 



nx, BXa 



zioni, ricordando le: 



)Es j d'h __ a àj| \ 



'.r j \ Ò ^S 



