17 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 277 



dove con Ta, k dx,dx k indichiamo l'elemento (1). Sviluppando i coefficienti di (2) rispetto 

 a € e trascurandone le potenze superiori alla prima, si trova infine: 



(3) (l=l,2,...,n— m + l)(* > *=|> l _i + l l pw + 2,...,l»0; 



'<',l—(l„:['l + PH>l -\-P(Wp, + M'ft+ — + %'„_„, + ,)]• 



Sono queste le equazioni cercate, che, com'è chiaro, dipendono soltanto dalle derivate 

 prime delle l. Naturalmente le (3) del § 2 sono una conseguenza differenziale di 

 queste, che si deduce da esse, eliminando le costanti p, q. Ma non viceversa dalle (3) 

 del § 2 si possono dedurre queste ultime equazioni ; le quali , com' è ben chiaro, 

 non valgono che se il sistema coordinato è già sistema canonico per la trasforma- 

 zione. Se noi facciamo p = otteniamo le (a) relative alle trasformazioni simili. 



Del resto anche per queste valgono le precedenti considerazioni; se non che in 

 tal caso il sistema canonico è formato tutto di variabili della stessa specie ed è 

 quindi completamente indeterminato. Se nelle (3) è p=k=Q, la corrispondente tras- 

 formazione è geodetica non conforme; poiché poi aggiungendo alle V una stessa 

 costante, l'elemento lineare non cambia, potremmo in questo caso servircene per fare 

 5 = 0. Moltiplicando la X per — si può poi fare p=l. Ma dalle formule (3) ri- 

 sulta una proprietà notevolissima, per giungere alla quale noi ci proponiamo la seguente 

 domanda: Quando mai a un sistema canonico possono corrispondere più trasforma- 

 zioni geodetiche non conformi? 



Prima di rispondere a questa domanda, vogliamo vedere quando mai uno spazio 

 può ammettere un gruppo G T a più di un parametro di similitudini, che non siano 

 tutte puri e semplici movimenti. Per veder questo ricorriamo alle (a), ossia alle 



dove u r è una costante che varierà dall'una all'altra trasformazione infinitesima 

 X u X 2 , ..., X\ del gruppo, e almeno per una di queste trasformazioni dovrà essere 

 differente da zero. Sia p. es. u, =t= 0. Allora alle trasformazioni infinitesime distinte 



u t A', — u, Xj (*= 2, 3, ..., n) 



corrisponderanno evidentemente costanti nulle, ossia esse saranno dei puri movimenti. 

 Dunque : 



Se un S„ ammette un G r di trasformazioni conformi geodetiche (simili) ammette 

 almeno un G r _! di movimenti, invariante in G r . 



Ritorniamo alla questione precedente. Esista un gruppo G r = (X 1 , X 2 , ..., X r ) le 

 cui trasformazioni infinitesime corrispondano tutte allo stesso sistema canonico. Var- 

 ranno per ciascuna delle X { le (3) dove si faccia p=Pi, q=q t - Se tutte le p, fossero 

 nulle il gruppo sarebbe un gruppo conforme; sia p. es. pi-=0; allora alle trasforma- 

 zioni p ± Xi — p i X 1 (i = 2, 2, ..., n) distinte corrispondono valori nulli delle costanti p; 

 esse sono perciò conformi. Quindi: 



Se a un sistema canonico corrisponde un gruppo G r , questo G r {se r > 1) contiene 

 un G r _, di trasformazioni simili e questo almeno un fi r _, di movimenti. 



