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deremo allora le variabili .f, .r, e„ in tanti gruppi ponendo in un medesimo gruppo 



le XiX 2 .... :/>,; in un secondo gruppo le x Pt+ i , x Pì+ 2....x p , e così via. Diremo che duo 

 variabili sono della stessa specie, o anche che i loro indici sono della stessa specie, 

 quando appartengono a uno stesso dei precedenti gruppi. Se alcuni di tali gruppi 

 sono formati di una sola variabile, essi per l'ipotesi fatta saranno i frinii di tutti. 

 Noi diremo che le variabili e gli indici corrispondenti sono del primo sistema : cosicché 

 se di tali gruppi ve ne sono t noi diremo che il primo sistema contiene t variabili 

 e indici ; denominazione che conserveremo anche se t fosse uguale a zero. Le varia- 

 bili e gli indici poi di specie t+1, t+ 2, si diranno rispettivamente del secondo, 



del terzo sistema e così via. Il sistema cui appartiene un indice si indicherà con un 

 affisso; p. es. con r, indicheremo un indice del v-esimo sistema; con ri"' invece indi- 

 cheremo un indice di specie v. Infine diremo elemento lineare aggiunto dell' ele- 

 mento (1) l'elemento 



ds i = n 'z\T]/(w Pj — V Pl )~\dxl 



Se ognuno dei numeri p supera di 1 il precedente, l'elemento lineare. (1) coin- 

 cide col suo elemento aggiunto. 



Faremo poi la seguente semplice osservazione, che insulta senz'altro chiara dalla 

 Memoria del prof. Levi-Civita citata. 



Data la corrispondenza geodetica tra gli spazii (1), (2), il sistema delle x x , x 2 ,.... x„ 

 è completamente individuato, se ogni specie contiene una sola variabile. In caso opposto 

 vi è una indeterminazione, la quale proviene dal fatto che alle m variabili di una stessa 

 specie possiamo sostituire come coordinate, in loro funzioni indipendenti qualunque. Quest'os- 

 servazione sarà nel seguito per noi abbastanza importante. 



Consideriamo ora una trasformazione infinitesima X, che supponiamo geodetica 

 non conforme per il nostro spazio (1) del § 1. E consideriamo una trasformazione 

 generica T del gruppo G 1 da quella generato. La trasformazione T stabilirà una cor- 

 rispondenza geodetica non conforme tra due pezzi distinti della varietà e perciò nel- 

 l'intorno di un punto regolare per X e per la varietà, ci definirà un sistema 

 coordinato (di cui abbiamo già vista la eventualmente possibile indeterminazione) che 

 dovrà fare assumere all'elemento lineare la forma (1) del paragrafo attuale. Facciamo 

 tendere ora la trasformazione T verso l'identità. Questo sistema coordinato tenderà 

 verso un sistema limite, che noi diremo un sistema canonico relativo alla nostra tras- 

 formazione. La sua possibile indeterminazione è precisata dall'osservazione precedente. 

 La trasformazione infinitesima X dovrà mutare l'elemento (1) in un elemento del 

 tipo (2) però infinitamente vicino al tipo (1). Quando mai può avvenire che un ele- 

 mento lineare (1) e un elemento (2) siano infinitamente vicini? Ciò non può avvenire 

 che quando a, 8-1 siano quantità infinitesime che noi potremo indicare rispettiva- 

 mente con 



/) q 



— e — e — - — 



n — m -f- 1 n — m 



dove p, q sono nuove costanti. Fatte queste posizioni, dovrà l'elemento (2) essere 

 uguale al trasformato di (1) per A", ossia esso dovrà essere uguale a: 



ZaadXidx* + tX('Za,i.<l.r..dx k ) — Iff,,,f/.r//.;\. + eJ.a' ilc dXidx l 



