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SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 



■li: 



del nostro problema, e specialmente nel caso di n = 2, in cui le equazioni del § 'A 

 si riducono a identità, danno un mezzo diretto per la risoluzione del problema di Lie. 

 Per ottenere queste equazioni, ricordiamo che, come abbiamo già osservato, aftinché 

 una trasformazione infinitesima sia conforme, devono essere soddisfatte le equazioni: 



(«) 



U".). 



dove u sia una funzione delle coordinate dei punti dello spazio; se poi u è costante, 

 le (a) ci esprimono le condizioni necessarie e sufficienti, affinchè la trasformazione in 

 discorso sia insieme conforme e geodetica. Noi cercheremo ora di generalizzare le (a) 

 e di ottenere un sistema di equazioni di tipo analogo, che valgano per ogni trasfor- 

 mazione geodetica non conforme. Per ottenere questo ricorderemo i noti risultati del 

 prof. Dini (che già il Lie stesso conosceva) generalizzati dal prof. Levi-Civita alle 

 varietà di un numero qualunque di dimensioni. Il risultato del prof. Levi-Civita è 

 il seguente (Cfr. " Annali di Matematica „, Sulle trasformazioni delle equazioni dina- 

 miche, 1896): 



Se due spazii S„ sono geodeticamente applicabili l'uno sull'altro, i loro elementi lineari 

 sono riducibili alla forma: 



(1) 



(2) da*-- 



ds* 



TT/(y;,, . — ij/„,) I K TS dx T dx, 



1 ',»=p h +i 



{«■VP, + &)(<iVr?-\-t)-{.<*'Vp n - 



' & Zj ayp. 



<*M>Pi + P 



TT', {y p 



Hip) I A' ,</./■. dx, 



'r.«=p i _ 1 -t-l 



Ecco ora il significato dei varii simboli. 1 numeri 



Po , Pi, Pi, 



Pn-m - . 



sono numeri posti in ordine crescente, tali che p„_ m+l = r, y = 0; m è un intero non 

 maggiore di n. Si può supporre anche che le p si susseguano in modo che le dif- 

 ferenze di due p consecutive non vadano crescendo; i simboli a, R indicano costanti 

 qualsiasi. Quanto alle y Pì , se p,^ -f- 1 = p t , allora *p Pi è una funzione di x Pl ; se invece 

 i > 1 allora ty,,, è una costante. Le \\> Pl devono però in ogni caso essere distinte 

 l'una dall'altra. Li' K... dove r, s sono indici compresi tra p,_[-j-l e p, sono funzioni 

 qualsiasi di x Pl _ l -\-l,x Pli -\-2, ...,x Pr Se p, — p,_, = 1, allora di tali K„ havvene una 

 sola, a cui si può dare il valore 1. 



Infine nei fattoriali Tì' t (}i> p — hi Pì ), / percorre tutti i valori 1, 2, ..., n — m-{ 1 

 eccetto che il valore j=l. 



Noi faremo anzi sempre la convenzione che accentuando il simbolo di fattoriale 

 (sommatoria) si debbano escludere quei valori dell'indice variabile, che danno un fat- 

 tore nullo (un addendo infinito o indeterminato). 



Facciamo ora alcune osservazioni sugli elementi lineari (1), (2). Se fosse m = n, 

 le p e le ijj si ridurrebbero alla p = Q, aliaci e alla vy,,,; la \\> Pì sarebbe una costante 

 e i due elementi lineari sarebbero simili; noi escludiamo senz'altro questo caso. Divi- 



