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Le quali due ultime equazioni ci dicono intanto che E Xl S 2 sono funzioni armo- 

 niche coniugate delle variabili a;, , x 3 . Le (b), (e) sommate ci dicono che anche E 3 è 

 armonica nelle variabili ;r u .<y Per le precedenti equazioni la (a) si potrà scrivere: 



■-«.) = »■.<<-' 



E la (n) si può scrivere: 



Quindi anche ■r i è 1 , y- 3 Eg sono armoniche coniugate. Poiché £j e .r, E, sono 



ambedue armoniche, dovrà essere r- 1 - =0, donde: 



A/-': a» dar, 



Ma la -T-T- = si può scrivere: -r — j^-=0. 



OX 3 r !<.,'/ 



Questa equazione insieme alla - ", =0 ci dice che ?— =k dove &=cost. Da 

 cui si deduce, indicando con h, l nuove costanti: 



E s = te, + A 



Él = — *». + l. 



E poiché .r 1 E l è coniugata armonica di -y 1 E 2 si deduce indicando con m una 



nuova costante: 



h = -j iA — «!) — i-r-s + w • 



Il gruppo geodetico più ampio dello spazio in discorso ha perciò soltanto 4 pa- 

 rametri e coincide quindi col gruppo di movimenti dello spazio stesso. 



La nostra questione è perciò risoluta. 



Un metodo analogo si può naturalmente applicare alla ricerca del gruppo gì - 

 detico più ampio dello spazio II, anzi di uno spazio qualunque. 



§ :>. Secondo tipo di equazioni 

 alle derivate parziali del primo ordine per le E r . 



Daremo in questo paragrafo delle nuove equazioni alle derivate parziali del primo 

 ordine per le E, che in alcuni casi offrono il mezzo più comodo per la discussione 



