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prime e seconde ; ossia per il risultato precedente anche in funzione soltanto delle £, 

 delle loro derivate prime e seconde. Infine dalla: 



[ì'/f-i ì'/ì'j-» e*« 





otteniamo, ricordando il precedente risultato relativo a ^ , . che si potrà espri- 

 mere anche f-J- in funzione al solito delle E e delle loro derivate prime e seconde. 

 Sari 



A noi non interessa però di scrivere effettivamente le formule definitive. 



Soltanto osserveremo che quando lo spazio ammette un gruppo geodetico con 

 n(n-\-2) parametri, esso è uno spazio a curvatura esimiti-, e il gruppo corrispondenti 



ciò propria il gruppo proietti m degli spazii ad " n „ dimensioni. 



Infatti in tal caso (Lie, Transformationsgruppen, tomo 1°, teor. 112) il gruppo è 

 appunto simile al gruppo proiettivo su n variabili; da ciò si deduce facilmente che 

 lo spazio è geodeticamente applicabile p. es. su uno spazio euclideo ed è quindi a 

 curvatura costante per un noto teorema di Beltrami. 



Daremo ora un esempio particolare di applicazione delle precedenti formule, 

 risolvendo una questione interessante per la geometria degli spazii a tre dimensioni, 

 che ammettono un gruppo G± di movimenti a 4 parametri. Se noi p. es. prescindiamo 

 dalle questioni di realità, abbiamo, come dimostrò il prof. Bianchi {Sugli spazii a tri- 

 dimensioni, ecc. " Memorie della Società Italiana delle Scienze „, 1897J, due soli tipi 

 di tali spazii, i cui elementi lineari sono : 



(I) dx\ -\- dx\ -\- 2 x 1 dx 2 dx 3 -4- (x\ -\- l)dxl 



(II) dx\ + i-'ulA -\- 2ne Xì dx 2 dx 3 4- dx\ (m=cos t 



i cui gruppi di movimenti non sono simili. Noi ci chiediamo: Sono questi due spazii 

 applicabili geodeticamente l'uno sull'altro? Se questo fosse, dovrebbe esistere una 

 trasformazione che conducesse le geodetiche dell'uno su quelle dell'altro, e quindi 

 anche il massimo gruppo geodetico del primo sul massimo gruppo geodetico dell'altro. 

 E poiché i due spazii hanno ciascuno un gruppo G 4 di movimenti non simile a quello 

 dell'altro, bisognerà intanto che l'uno e l'altro posseggano un gruppo geodetico a più 

 di 4 parametri. Sarà dunque da risolvere la questione preliminare. Ammette, p. es., 

 lo spazio I un gruppo geodetico a più di 4 parametri? Noi dimostreremo ora di no; 

 e sarà allora dimostrato che gli spazii I, II non sono geodeticamente applicabili. Per 

 vedere questo costruiamo intanto i simboli a 3 indici per lo spazio 1°. Si trova: che 

 tutti sono nulli, eccetto che i seguenti: 



\SSi_ i 12 i x, U'^_l S 23 ^ J_ \13t_ 1-A . M3/ | x, 



? 1 S~ _ Xl ' ? 2 \ 2 ; 1 3 )~ T' ? 1 S~~ 2 ' ) 2 S ~ 2 ' ì 3 W 2 ' 



Le equazioni (3) del § 2 diventano così: 



w / 1 1 ò.r 2 , ' ' dar, dx 3 L bx 3 



W In - òx s bx 3 "T" 2 (V, 2 d.T 3 2 dx 2 Xl òx t 



