11 SUI GRUPPI DI TKASFORMAZIONI GEODETICHE 271 



anche geodetica, deve essere X costante. Infatti dalla a' ai =\a ik si trae perla (a) (§ 1) 

 A' tk — — \A lk e per la (t) dello stesso paragrafo: 



La (P) del § 1 ci dà: 



Fikl' . I ikl , 1 T dX , òX dX 1 



E l'equazione precedente diventa dunque per le (a) del § 1 : 



Ma se i =4= v, A; =4= v questa espressione dev'essere nulla per la (3) del § 2 anche 

 se i = k. E poiché a,* =4=0, se » = & (perchè restiamo nel campo reale) sarà: 



2 



4,-^ = 



qualunque sia poi l. Poiché il determinante \A U \ che è reciproco di \a\ è differente 



da zero, è ben chiaro che - — =0 ossia X = cost. Viceversa è evidente che una tras- 

 òxi 



formazione simile è geodetica conforme. 



Dimostreremo ora che dalle (3) del § 2 si possono dedurre le derivate terze 



delle i t1 £ 2 , ..., E„ in funzione delle E, stesse e delle loro derivate prime e seconde. 



E poiché le (2) del § 3 ci danno espresse tutte le derivate seconde in funzione 



delle E,, delle loro derivate prime e delle -r-4- , ne risulterà che una trasformazione 

 r dx \ 



geodetica è determinata quando sono dati i valori delle E,-, delle 5— edelle ^— t (i,k=l,2..n), 



ossia quando sono dati n (n + 2) costanti ; il gruppo geodetico di uno spazio qua- 

 lunque non può perciò contenere più di »(« -f- 2) costanti arbitrarie. Le equazioni 

 del § 3 dovranno naturalmente potersi ottenere come condizioni per l'integrabilità 

 del nostro sistema; il numero massimo n(n-\-2) di costanti arbitrarie non potrà esser 

 raggiunto, che quando queste equazioni siano identità. 



È intanto ben chiaro che dalle (3) del § 2 si possono ottenere tutte le deri- 

 da 

 vate -t— t — r — (l^=i, l=\=k) in funzione delle E,, delle loro derivate prime e seconde. 



Per far questo basta ricordare che è sempre in questa ipotesi: 



_J_W_o 



dx, Uì 



Supposto poi sempre i =f= l, l =)= k, la : 



ci permetterà di ottenere . " , in funzione di - , . "', — , delle E, delle loro derivate 

 OXioari riXiO.rhO.ri 



