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che è nulla per le (3) del § 2; il termine: 



per le (3) del § 2 è uguale a 



e dipende perciò soltanto dai valori di i, h e non da quello di r; cosicché, se abbiamo 

 un quarto indice s tale che s =+= i , s =4= v , sarà : 



(2') )rr, ih\' — \ ss, ih[ = U (s#=i, s4=A) (r=j=i, r=(=A). 



Se s = r, oppure i=h quest'equazione è un'identità. 



Sia ora v = h; allora si trova facilmente che per le (3) del § 2 se r- 



rh, ihl' — 



dx, -T | r J ? ft J "T" | » H M "+" 4J ? I 5 ? /' * 



_ s '•/' i' }*•**_$ »■* n *'i _ i r/ ' ì i **ì' — 



di rr i' 



2 òxì * 2 La} l Sì l\ >) h\ì h \ 2 ') h\ ] h S 



irrì' 



+ 2 Zj n « 



2 dm ~T 2 Là') 1 S I I \ 

 i 



Questa espressione non dipende evidentemente da " h „. Indicando con k un 

 quarto indice avremo perciò: 



(2") ) rh, ih (' — ) ?•/,-, i k[' = (r =!-=/<, »={=A, *•#=&, i=!=A-) 



Si verifica infatti analogamente a quanto abbiamo fatto più sopra che questa 

 equazione vale anche se r = i. 



Le (2), (2'), (2") ci danno un semplice sistema di equazioni alle derivate par- 

 ziali del primo ordine per le S r , sistema che è naturalmente per noi della massima 

 importanza. Noi vedremo infatti più tardi che non useremo quasi mai delle equa- 

 zioni (3) del § 2, alle derivate parziali del second'ordine nelle " E „. E in particolare, 

 useremo specialmente delle (2) che, com'è chiaro, sono più semplici che le (2'j e le (2"). 



§ 4. Prirne conseguenze delle equazioni del § 2. 



Una prima conseguenza immediata è questa: Se una trasformazione conforme è 

 insieme geodetica, essa è una trasformazione simile. Infatti se una trasformazione X è 

 conforme, avremo che a' it = \a,,, ; dove X è funzione delle coordinate. Dico che se X è 



