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risulta dalla (14) (§ 1). Per le (6) abbiamo dunque che — (Za' mp x m x p ) dev'essere in 

 virtù della ?.a m ,A m x,, = 1 uguale a una forma di primo grado nelle x,; e che a questa 

 medesima forma devono essere uguali tutti i quozienti: 



£.1' iltXiXt 



(GÌ —£-= : (/=1. 2 »). 



k 



Questa condizione non è altro che un'altra forma della condizione (3). Ciò che 

 si conferma del resto facilmente col calcolo effettivo. Infatti moltiplichiamo numera- 

 tore e denominatore della (9) per A lv ; e sommiamo tanto al numeratore quanto al 

 denominatore rispetto a l. Essendo tutte le (9) uguali, otterremo così un'altra fra- 

 zione uguale ad esse, che per la (7) è: 



,.k I r \ 



Affinchè questo quoziente sia una forma di primo grado nelle x, deve essere 

 appunto y '( =0 per iM=v, A- =!=?>. Questo quoziente diventa allora: 



(8'» »[jvf*+ ,, S{':j*] 



dove i percorre tutti i valori, eccettuato il valore v. Questa ultima espressione d( ve 

 essere poi indipendente da v\ ciò che dà che se iM=v devono essere verificate le: 



w/' -> S' r )' 



I , S " - / r S ■ 



Queste equazioni sono appunto le (3). Quanto di nuovo abbiamo perii appreso 

 da questa discussione è l'elegante significato geometrico (8) della espressione: 



( b ) Li > >• \ ds 



e le altre semplici forme sotto cui questa stessa espressione si può scrivere. Questa 

 forma (8") è covariante, nel senso che non muta il suo significato col variare del 

 sistema coordinato; ciò che ce ne dà una assai curiosa particolarità; essa ci misura 

 la derivata seconda rispetto all'arco di una geodetica dell'incremento che per la X subisce 

 l'arco stesso (diviso per (.). 



§ 3. Equazioni del primo tipo 

 alle derivate parziali del prim'ordine per le E.. 



Come abbiamo già detto nell'introduzione, noi vogliamo trovare delle equazioni 

 alle derivate parziali del primo ordine per le l T . Con due particolari artifici noi ne 

 troveremo due sistemi; e comincieremo intanto dal primo. 



