7 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 267 



j„ 'y k t _|_ e J' 7 '"!'; e ciò, appunto perchè nelle (2), il significato del parametro * s , 



non è determinato. Affinchè dunque sugli elementi (1) e (14) del § 1 si corrispondano 

 le linee geodetiche dovranno essere nulli i coefficienti di " e „ nelle nuove equazioni 

 testé costruite per l'elemento (14), ossia dovranno essere verificate le: 



(3) 2 !?(- j?j'HVf=° (^M^;M,*=i,2,... ,»). 



Le equazioni (3) ci danno sotto una semplice forma simbolica le equazioni 

 richieste, che sono le equazioni fondamentali del nostro problema. Ma lo sviluppo 

 effettivo del sistema (3) conduce a un sistema di equazioni, che è tutt'altro che facile 

 approfondire. Altri saranno i metodi che noi useremo. 



È tale però l'importanza delle (3) che noi le vogliamo ritrovare in un'altra ma- 

 niera, che ci darà un' altra forma elegante delle nostre equazioni fondamentali. 



Consideriamo una geodetica qualunque, di cui individueremo i punti per mezzo 

 di un parametro qualunque t ; poniamo : 



dxi ■■ <fxi ,/-^ ; — ; — 



'' = -,— , *t = — S3-1 v = K X'^.r.x,. . 

 ut dt 



Le equazioni della geodetica si potranno scrivere: 



W ZL¥^]- 2 £|ZvM= ('=!.*. ) 



La variazione del primo membro corrispondente alla X deve essere identicamente 

 nulla in virtù delle (4) stesse. 



Ciò che dà, posto W= Za' np i n i p : 



V( 1 òa'tk 1 òaa W ì . . , d V r a ' a 1 w 1 • 



Poniamo ora t=s, dove con s indichiamo l'arco della geodetica; col che v=l, 

 le (4) diventano equivalenti alle (1); sostituendo nella (5) la 1 al posto di v e ponendo 

 in luogo delle s k i valori che se ne traggono dalle (1) otteniamo con facili riduzioni: 



(6) ^ AJ.',\.h = — 2/^.-.'',. ^7 (£«'>,,<<'■ ) (J=l, 2, ..., »). 



dove : 



Uhi' 



Per le (1) la 

 (8) — (la'^à, ; I 



che comparisce nel secondo membro delle (6) si può considerare come una forma di 

 terzo grado nelle x, (i=l, 2, ..., n). Essa ha un notevole significato geometrico, come 



