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Troviamo infine il valore di )r\,ih\'. Dalla (6) si ha: 

 |rv, ih{' = Z[A'„(rl, ih) + A Ari. ih)' \ 



donde per le (17), (18) si ricava con facili riduzioni: 



(21) !,v,^;' = 2[ E 'ài rv '^-^^ ! '6+^ i7 C+''- v - /A ^^ ! '' v '^ 

 t 



La trattazione in alcuni punti acquisterebbe di simmetria se noi considerassimo 

 anche le variazioni dei primi membri delle (9), (10); ma, tanto per non introdurre 

 fin da principio nuovi simboli, useremo soltanto quelli finora descritti, anche so l'ele- 

 ganza e la semplicità dovessero un pochino essere diminuite. 



In ogni modo la considerazione delle )rv, ih\' è uno dei punti fondamentali del 

 presente lavoro. 



§ 2. Formule fondamentali. 



Noi diremo che una trasformazione infinitesima è geodetica per un dato spazio. 

 quando il gruppo da essa generato permuta tra loro le geodetiche dello spazio stesso : 

 un gruppo generato da trasformazioni infinitesime geodetiche sarà detto geodetico. 

 Noi ora ci chiediamo quando una trasformazione (13) sarà geodetica per (1). Ciò, 

 com'è ben chiaro, avverrà allora e allora soltanto che su (1) e (14) si corrispondano 

 le linee geodetiche. Noi troveremo ora le semplici equazioni, che traducono questo 

 fatto; esse sono di grande importanza, e contengono le derivate seconde delle £ 

 rispetto alle x. 



Per lo spazio (1) l'equazione delle geodetiche è: 



m ^.ydx^dx^^ikl (i,k,t=l,2 n). 



y l > <fe a ' Li às ds ì ! s y 



i,k 



Indicheremo con A, il primo membro della (1); al sistema di queste potremo 

 chiaramente sostituire il sistema equivalente: 



(2 ) A,^-A,.-^ = (•**) (M = l, 2, •..,«)• 



Però mentre nelle (1) la variabile " s „ è l'arco delle geodetiche, nelle (2) la " s ., 

 può avere un significato qualunque o, in altre parole, nelle (2) la " s „ è un qual- 

 siasi parametro individuante i punti di una geodetica. Osserviamo ora che nella (2) 

 il coefficiente di *"%** se i<¥t, k^t è 2J'*j; il coefficiente di **f^ 

 k- ■-,: k^t, è 2J'*J-2J*j; infine il coefficiente di -^- è 2 j'« \- \™\- 



Scriviamo ora le equazioni analoghe alle (2) per l'elemento (14); esse natural- 

 mente si dedurranno dalle (2) col semplice scambio di ogni simbolo y l l (1=1,2 n) 



