5 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 265 



Noi disegneremo sempre d'ora in poi sei è una quantità qualunque relativa 

 alla (1) con A + e A' la quantità analoga corrispondente alla (14). Avremo allora 

 con ragionamenti analoghi ai precedenti: 



Se X r ,r,...r„ è un qua ! u nque sistema covariante ad m indici, varranno sempre le 



formule : 



(16) A",,, ..,. = £ [> £ <*" ■'-> + X - — • "•' & { + - ] 



t 



dove nel secondo membro t si sostituisce successivamente a r,, r 2 , r 3) ... r m . 

 In particolare otteniamo : 



(17) (ih,kl)'=^lZr~(ih,ty+(rh,kl)^+(ir,kl)^^^ 



che è per noi una equazione di importanza fondamentale. 



Se noi seguissimo per le A ik un metodo analogo a quello tenuto pei sistemi 

 covarianti, potremmo pure trovare le A' m ; e con metodi analoghi trovare le formule 

 anàloghe alle (16) per i sistemi controvarianti. Noi procederemo per maggior brevità 

 cosi. Dalle: 



(a) Za ik J ih = e lch 



si deduce: 



Z(a' ik A ih + a ik A' ih ) = 0. 



Moltiplicando per A ky e sommando rispetto a k otteniamo: 



J\ v + I-Ó,.l,. ,i,, = o 

 donde, per la (15) si trae: 



(18) A>^ { Z,^-A^-A h ,- 



Dalla (2) si trae: 



., \' i k "y 5«'.i j 



òxì dxi 



Ricordando le (15), sostituendo, otteniamo con facili riduzioni: 



(-)[?j=i[-£fe+^C"] + i-v]£+mt+L?j^]- 



Dalle (3) otteniamo: 



Ricordando le (18) e le (19) troviamo le formule fondamentali seguenti: 



<9M \ ik i'— a'e» | yr ? a jik) , \ir\ ae, , \kr\ as, \>kj di. 



( ' }v S ~ ÒXiòXH "T" Li L ' j7r|v( + |v|te t |»U \ r )■ dx r J 



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Serik II. Tom. LUI. i 1 





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