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Denotiamo con e una costante infinitesima: e applichiamo questa trasformazione 

 al nostro elemento lineare; esso diverrà: 



(14) La,i.dx,dxt -|- eX[Xa, -<lx.<lx | 



che noi scriveremo per semplicità sotto la forma : 



Ta ik dx,dx, : -f- £Ì-a' ik da 



dove, come sappiamo dalle formuli' del Killing, o. come si verifica tosto, ricor- 

 dando che : 



X{Z.a ill dx i dx 1 ) = 'ZX(a ik )dx,dx k + Ta rll dX(x r ) dx* + la r idX(x r )dxi, 

 abbiamo che: 



r 



È per noi ora importante la seguente considerazione. Per passare dall'ele- 

 mento (1) all'elemento (14) si può anche procedere col seguente metodo: fare dap- 

 prima il cangiamento di coordinate seguente: 



x, = ./, + a,{x\ ... x'„) {i = 1, 2, .... n) 



dove le E, si deducono dalle E, che compariscono nelle (13) sostituendovi alle x^.-.x,, 

 le x' 1 ...x' n ; e nell'elemento lineare trasformato con questo cambiamento di variabili 

 porre le x x ... x n al posto delle x-l ...x'„. Mostrerò ora dapprima come da questo punto 

 di vista le (15) si deducono subito dalle (11). Poniamo : 



Za„dx r dx s = 1b, t (ìx' t <ìx' h . 



Avremo : 



, V ÒZr ÒX, 



r,s 



Prendiamo nel secondo membro le x\ ... x' n come variabili indipendenti e diamo 

 alle e r , , e fa il significato più sopra stabilito. Avremo : 



2>.<* m|è=S[(^¥)(.+^)|^^)} 



Da cui sviluppando, ordinando secondo e, trascurando le potenze di e di espo- 

 nente maggiore di 1 troviamo che: 



„ =«,M + e ^ W ) *& + 2*40 ^ + £«»<*') ^ 



Ponendo le x % al posto delle x,' troviamo precisamente le (15). Questo stesso 

 ragionamento si può applicare a ogni sistema X r ,,„. .,.„ covariante ad ni indici. 



