53 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 313 



ossia 



I 



r , dà i SE, OS, 



)hr,kl[-^- -^fa u ^ — fa hkT ^ = 



ossia, posto 



i-M 



[)hl,km\] = 'ZAnlhv,km~\, 

 ci dà: 



(27) £D* r '^G £ =0 - 



Formule analoghe si troverebbero nel caso che esistessero 2 sole specie di indici. 



Dalle (26), (27) si vede a quante equazioni lineari dovrebbero soddisfare le de- 

 rivate delle i di una specie rispetto alle variabili di un'altra specie; se esse non 

 fossero tutte nulle dovrebbero esistere tra i simboli a quattro indici citati più sopra 

 lunghe serie di relazioni che non sono certo soddisfatte in generale; ciò che con- 

 ferma quanto abbiamo enunciato. Del resto le (26), (27) insieme alle (a), (f5), ecc., 

 di pag. 64, danno un sistema di equazioni, che assai probabilmente bastano in ogni 

 caso particolare a completare la discussione; io però non sono riuscito a discutere 

 il caso generale (*). Si deve ancora ricordare che il sistema coordinato si deve sup- 

 porre canonico per almeno una trasformazione geodetica non simile; per la quale, 

 oltre alle equazioni precedenti, valgono le (15), (16), (17). 



Detta / 5 r -r— questa trasformazione, le (16) dimostrano che 



2> 



ò 



dav<" 



dove r varia, prendendo i valori di tutti gli indici di specie v, è una trasformazione 

 conforme (che eventualmente potrebbe anche non essere simile) per l'elemento 

 lineare I K u dx, dx u ; dove i, k variano restando di specie v-esima ; lo studio degli 

 spazii con trasformazioni conformi, cui ho dedicato una nota, pubblicata teste negli 

 " Atti dell'Accademia „ , dà perciò un nuovo metodo per la discussione di quegli 

 eccezionalissimi casi eventuali per cui non fosse sufficiente la precedente discussione. 

 Nel caso n = 3 del resto abbiamo già visto p. es. come i nostri metodi permettano 

 di studiare il caso eccezionale (per la teoria generale) di un elemento lineare aggiunto 

 a due sole variabili. 



(*) A queste equazioni se ne può anche aggiungere un'altra assai semplice; se i è di specie 

 distinta dagli indici h, I supposti pure distinti tra loro, dalla < > = si deduce che : 



(a) 





(dove r varia restando della stessa specie di h, 1) è indipendente da xv, ossia la (a) dipende soltanto 

 dalle variabili della specie di h, I. Naturalmente nella discussione generale si dovrebbe anche tener 

 conto delle equazioni del § 2. 



Serie II. Tom. LUI. 



