51 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETI 311 



dove naturalmente, se la specie t fosse del primo sistema e quindi i = k, sarebbe 



fr* = l. 



(22) |*.;„*>U = l»i,*J|. (?=^h,j=hl) (s=4=l) 



. i h,\ = \i i, jh\, + 4- Y— ? — — — fO'* /" i ■■■ > 



Tutti i simboli a quattro indici, che non entrano in uno dei tipi (21), (22). (23) 

 sono certamente nulli. Ammettiamo ora che esistano almeno tre specie di indici ossia 

 che l'elemento aggiunto contenga almeno tre variabili. L'equazione 



JiWjfcW JMJM(' = 



dove s, t, h sono simboli di specie distinte ci dà 



ossia per la (21) 



A-„ [ }sm, swj„ — J**,s*(«J -^- =0. 



Òli A 



Poiché fc tì H= 0, ne deduciamo che se -r— =4= 



J SW, SW j„ = j St, SÌ f 



qualunque sia s, purché distinto da £, u. Ripetendo ragionamenti già usati, ne dedu- 

 ciamo che lo spazio aggiunto è a curvatura costante. 



Dunque, se lo spazio aggiunto non è a curvatura costante, e se esistono almeno 

 tre specie di variabili, certamente i coefficienti di una trasformazione geodetica, corri- 

 spondenti alle variabili della v-esima specie, non possono dipendere che da queste stesse 

 variabili. 



Già di qui si vede che il caso da noi discusso è il caso generale; noi vedremo 

 subito che se le £ corrispondenti a variabili di una certa specie fossero funzioni 

 anche di variabili di altra specie dovrebbe essere soddisfatta anche un' altra lunga 

 serie di equazioni. La 



\i t h„k,l,[' = (h =4= k =4= l =4= h) (s =4= *) (s =4= 1 ) 

 dà 



ossia per (22) 



La equazione 



}»**>* >,!<-/>■' !' -;; v r./" 1 . / ,M, :' = o (4=4= Z) 



dove u è indice d'una specie distinta dalle specie v, s e queste sono distinte tra loro dà 

 (supposto naturalmente che la specie s non sia del primo sistema) : 



