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denti che moltiplicano differenziali di variabili degli altri sistemi, 'piando nella (a) a 

 queste variàbili si dia il significato di parametri arbitrarli. 



Per vedere questo basta osservare che questi elementi lineari sono chiaramente 

 elementi lineari di varietà totalmente geodetiche nello spazio ambiente. Questa osser- 

 vazione fa sì che lo studio dei nostri spazii (1) del § 5 con t sistemi distinti di indici 

 si potrebbe parzialmente ridurre allo studio di spazii con soli t — 1, t — 2, ecc. sistemi 

 di variabili ; di più, dall'osservazione che il gruppo geodetico di una varietà è sempre 

 d'un numero finito di parametri, riesce in parte determinata la forma delle nostre 

 trasformazioni geodetiche; perchè al variare delle x, che nel teorema precedente si 

 devono considerare soltanto come parametri arbitrarli, le trasformazioni (a) devono 

 generare un gruppo con un numero finito di parametri. 



Cosi, p. es., esistano due sistemi di variabili, e il primo sistema sia formato di 

 almeno due variabili. Allora indicando con X x . A', X a delle trasformazioni geo- 

 detiche per l'elemento lineare che si deduce da quello dello spazio dato, annullando 

 i differenziali delle variabili del secondo sistema, avremo che la più generale trasfor- 

 mazione geodetica del nostro spazio dovrà essere del tipo 



(a) Z <p, (x r .) A', + 8, 



dove le tp, siano funzioni delle variabili del secondo sistema, ed S sia una trasfor- 

 mazione infinitesima su queste variabili, con coefficienti che possono anche dipendere 

 dalle variabili del primo sistema. Se esistessero tre sistemi di variabili, e il primo 

 fosse formato di almeno due variabili, la più generale trasformazione geodetica del 

 nostro spazio sarebbe del tipo: 



IP) Z <p. (*r a ) V, Uv, ) A, + Z X, ir,, ) S, + Z u, (av s ) 3 



i 



dove le qp e u sono funzioni delle variabili del secondo sistema, le ip e le X delle 

 variabili del terzo, le S t (/?,) sono trasformazioni infinitesime sulle variabili del se- 

 condo (terzo) sistema, con coefficienti che possono anche dipendere dalle variabili del 

 primo sistema. E così via. La dimostrazione delle (a), (P) si compie facilmente con 

 semplici artifici; la ricerca generale si può quindi suddividere nella ricerca di trasfor- 

 mazioni (et), di trasformazioni (p), ecc. 



Ritorniamo ora al problema generale; e premettiamo alcune semplicissime osser- 

 vazioni: Tutti i simboli a quattro indici relativi al nostro spazio sono tutti nulli, se 

 gli indici non sono tutti della stessa specie, eccetto che nel caso che il secondo in- 

 dice è uguale al terzo o al quarto, mentre gli altri due sono della stessa specie. 

 Se poi quattro indici sono della stessa specie, p. es., della v-esima, i simboli saranno 

 evidentemente nulli se gli indici sono del primo sistema. Ora insieme al nostro spazio 

 consideriamo l'elemento aggiunto e l'elemento che si deduce dall'elemento iniziale, 

 ponendo uguali a costanti le variabili che non sono della specie v ; i simboli relativi 

 a questi due ultimi elementi lineari si distingueranno rispettivamente con un affisso a 

 e con un affisso v. Possiamo allora dare sotto la seguente forma i valori dei simboli 

 a quattro indici non identicamente nulli 



(21) P,V»f»\ = -)&f*,j*W\>=)t8,t8'„k lk (s 



