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GUIDO FUBIXI 



questi specialissimi casi eccezionali; cosa del resto che, credo, il lettore riconoscerà 

 facilmente. Come esempio di trattazione, io svilupperò poi completamente il caso di 

 n = 3, e accennerò al caso di n = 2, senza però sviluppare per w=2 tutti i calcoli 

 relativi, che sarebbero senza interesse, dopo la memoria del Koenigs. Il principio 

 fondamentale della presente memoria consiste in questo: mentre le equazioni, cui 

 devono soddisfare i coefficienti delle trasformazioni infinitesime del nostro gruppo 

 sono alle derivate parziali del secondo ordine, ciò che rende difficilissima la discus- 

 sione, si riesce con particolari artifici a ridurre il sistema al successivo studio di 

 sistemi di equazioni alle derivate parziali del primo ordine e molto spesso di sole 

 equazioni alle derivate ordinarie. 



Sia 



(1) 



§ 1. Formule preliminari. 



ds' 2 = Z (/, t dx, dx,, 



l'elemento lineare di uno spazio a n dimensioni. Indicheremo con |a| il discriminante 

 di questa forma, con A tlc il complemento algebrico di a, k in questo discriminante 

 diviso per \a\ stesso. Naturalmente questo è lecito, perchè |« |=H= 0. Indicheremo 



con ' ' dove i, k, l sono tre indici qualunque della serie 1,2, .... n l'espressione: 



. . J_ / ò"ii i orna 9a 



W 2 ' ftxt ' te, dxi I ' 



(3) 



Porremo poi: 



i?i=s^ra- 



Indicheremo con (rk, ih) dove al solito r, k, i, h sono indici qualunque i sim- 

 boli di Riemann: 



*■ •* 2 \ ÒXi ftafc ' ÒXrÒX), ÒXhÒX k teròx, I ' Z-é \ L m J L l J 



Questi simboli come si sa soddisfano alle identità: 



(kr, ih) = — {rk, ili) = (ih, kr) = — (kr. hi) 



(5) 



[rk, ih) + (ri, hk) + {rh, ki) = 0. 

 Porremo poi, indicando con r, v, i, h indici qualsiasi: 



:J[T]: 



(6) 



!>-v. i//j = Ii„(ri, ih) 



: ì 



•i?j 



!)x\ 



òx, 





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