3 SUI GRUPPI DI TRASFORMAZIONI GEODETICHE 263 



Come è noto è: 

 (7) \rv, ih{ = — }rv, hi[. 



Dalle formule precedenti, si trae: 



raditi 



(8) 



(rk, ih) == I «,.., 1 /7, /A '. 



Queste notazioni sono le stesse che il prof. Bianchi usa nella sua Geometria Dif- 

 ferenziale. Un teorema di Schur ci dice che affinchè lo spazio in discorso sia a cur- 

 vatura costante K è necessario e sufficiente (se n > 3) che esso sia a curvatura 

 costante K in ogni singolo punto per qualsiasi orientazione. Tradotto analiticamente (*) 

 questo teorema ci dice che se è: 



(9) (rk, ih) — K(a„ a M — a , <>.,..) = 



(ciò che ci esprime costante in ogni punto la curvatura K) è K una costante; e lo 

 spazio è a curvatura costante K. Moltiplicando questa relazione per A, r , dove v è un 

 indice qualsiasi e sommando rispetto a k da 1 a n, la precedente formula diventa: 



(10) )rv, ih j — K(a r: € h , — a rh e t ,) = 



dove £/,»(«„) sia nullo se A==v(< — v) e sia uguale a " 1 „ nel caso contrario. 



Ricorderemo ancora che se x lt ..., ~x n sono un nuovo sistema di coordinate, e se: 



To,.,I.,\iÌj' 



è l'elemento lineare espresso con esse sarà: 



/-, , v V"* _ te òxk . ST 1 te te 



i,ì i,k 



Forinole analoghe valgono per ogni sistema covariante della forma, come è ben 

 noto. In particolare se con (rs,tk) indichiamo i simboli a quattro indici per la forma 

 trasformata è: 



,i,n z r~i V 1 , ■ , ,n te àxk tei òxi 



(12 (rs,tv)= > (ik,lil)-z= c=- -5= 5= — 



y ' v ' ' Lj te- òx, dxt te 



ik.hl 



Consideriamo ora ima trasformazione infinitesima: 



(*) Bianchi, Sui simboli a 4 indici, ecc., " Rendiconti dei Lincei „, 5 gennaio 1902. 



