1 PRINCIPII DELLA GEOMETRIA Dt POSIZIONE, ECC. 61 



Cd, ab, fatte dal punto d' — le quali saranno appunto in numero di 6 fra tutte , quanti sono gli 

 spigoli. Questi 15 punti si posson disporre su 35 terne in modo che ciascun punto appartenga a 

 7 teme diverse, ma due punti stian sempre in una sola: p. ss. — dette f,g, h le proiezioni che cadono 

 sugli spigoli ab,bc,ca — nella faccia abc vi saranno le terne afb,bgc,cha,a<X(i,bdh,cd'f,fgìi. Ora, 

 imponendo a siffatte combinazioni dei 15 punti il nome di ' congiungenti ,, si riscon- 

 trano vere le propos.' primitive l'-XIII» e fallace la XIV»: in quanto che, p. es., VArm(a,b,f) 

 coincide con f. 



Si prova eziandio che il XV" non è conseguenza dei post.' I°-XIV°. Invero, dati tre punti a, b, e 

 collineari e distinti, se si ammettono i post.' I-°XV°, bisognerà ohe il punto d = Ann {a, b, e) stia 

 nell'uno o nell'altro dei segmenti prj {abr), {bea). Ma nell'un caso per certo esiste ( Pl§5 ) una coppia 

 di punti X e y armonici tanto ad a e e, quanto a, b e d; ei a,b, e, d,x,y sono punti al tutto distinti 

 fra loro: e il simile accade se dt{bca). D'altra parte (e questo ancora fu osservato dal Fano al 

 loc. cit, pag. 11) si può costruire uno ' spazio prj , di 40 punti e 130 congiungenti, ciascuna 

 consistente in una combinazione di soli 4 punti distinti armonici fra loro in tutte le permu- 

 tazioni possibili : di guisa che sia verificato il complesso delle proprietà raccolte sotto i post.' I"-XIV°; 

 e tutto ciò senza che in ogni retta si trovino que' sei punti a,b,c,d,x,y, come vorrebbe il XV°. 

 Incerta riman tuttavia l'indipendenza del XVI° da' suoi precedenti P-XV: ma la vanità d'ogni 

 sforzo fatto per dedurle da questi mi dà, sino a prova in contrario, una qualche presunzione in 

 favore di quell'indipendenza. E una tal presunzione è maggiore in ordine al post." XVIP : il quale, 

 dati i preced.^ P-XVI°, si potrebbe assai facilmente ridurre a questa forma: ' Essendo a,b,c, 

 a, b', e' s e i punti d'un piano prj tutti distinti fra loro, e purché tanto a, h, e, quanto a, b', e siano 

 allineati, dovranno esser collineari, anche i punti comuni alle coppie di rette ab' e a'b, ac e a'c, 

 be' e b'c „. Ora questa prop." (ch'io sappia) non è mai stata prodotta in Geom.' di Posizione al- 

 trimenti che deducendola dal teorema fondam." di Staodt : vale a dire invocando anche il principio 

 di continuità sulla retta, che qui è XVIII". (Una dimostr." più semplice fu ancor tentata di fresco 

 da H. G. Zeuthen, ma senza frutto: ved. Comptes Rendus de l'Ae. d. Scienees, 2 e 22 Nov.» 18971. 



Il qual post.» XVIIP è per certo indipendente da' suoi precedenti, stante la ben nota possibi- 

 lità d'una Geom.' proj." in soli punti razionali — dove sarebbe falso il XVIIP, pur sussistendo gli 

 altri P-XVn». — 



Infine, se per [0] s'intende quella classe (di classi), il cui generico individuo è la classe di tutti 

 i complessi nascenti da ( axf , ax^ , ax^ , ax^ , ax^ ) col variare del parametro a per valore numerici reali, 

 finiti e diversi da zero — dopo aver dato ad arbitrio valori numerici reali, finiti e non tutti nulli 

 alle a;: e se, dati i punti x = {axu ax^, ... ax^) ed y~ {hjt, bth, - by^] non eguali fra loro 

 {,j~ = x) si ponga xtj^(c{\xi-\-nxi), 0(^X2 + 1x^2), ... c(\xs + nij&)) — dove X e M sian varia- 

 bili reali obbligate a restar sempre finite senza potersi annullare ad un tempo, e e un parametro 

 come a e b: s'i otterrà una rappresentazione della Geom." Projett." a quattro dimensioni (e propria- 

 mente un sistema di cinque coordinate omogenee) la quale contraddice al postul." XIX° (verificando 

 la sua negazione XIX'), ma è pienamente conforme agli altri I°-XVIII°. — 



Per prova che tutte quante le premesse d'un sistema deduttivo siano cotnpatibili, cioè non contra- 

 dittorie fra loro, basta un esempio concreto, dal quale siano tutte verificate. Ora il complesso di 

 quattro coordinate omogenee variabili come dianzi soddisfa appieno i postul.' P-XIX" : e tanto 

 basta perchè si concluda esser la propos." contraria, negazione, di ciascuno di 

 essi indipendente dagli altri. Ecc. 



Torino, Ottobre 1897. 



