60 MARIO PIERI 



APPENDICE 



Sull'indipendenza dei postulati P-XIX" 



Date più propoa.' condizionali P(x,y,z, ...) , Q(x,y,z,..), R{x,y,z, ...), ecc., sugli enti variabili 

 X, y, z, ... non pub cader dubbio sul valore delle asserzioni ' dalle P B Q non si deduce \a E , , 

 ' la E non è conseguenza delle P e Q ,: però che questo emerge senz' altro dal comun significato 

 logico dei termini " si deduce ,, ' è conseguenza di ,: ved. a pag. 9, e a pag. 45 in nota. 

 Ambo i modi nuli' altro esprimono che questa propos.* particolare : " esistono degli x, y, z, ... per 

 cui son vere la Pe la Q, ma non è vera la E „. 



Ciò premesso le propos.' P, Q, E, ... si diranno ' indipendenti le une dalle altre, se avvien 

 che nessuna sia conseguenza delle rimanenti (dunque se avviene, che per ciascuna si possan 

 trovare degli x, y, z, ... che non la verificano, mentre rendon soddisfatte le altre). Ora i postul.' d'una 

 scienza deduttiva sono appunto condizioni imposte agli enti primitivi di questa: cosicché 

 a dimostrar p. es. l'indipendenza assoluta dei nostri principi P-XIX" basterebbe (anzi è questo 

 il modo che piìi direttamente si offre a fil di Logica — com' è , a quanto sembra , anche il solo 

 che si conosca per simili scopi) portare diciannove interpetrazioni o specificazioni degli enti 

 " punto prj , e ' congiungente due punti prj , per ciascuna delle quali rimanesse insoddisfatto 

 uno solo di quei principi. — Risultati di questo genere non sono stati raggiunti finora che in 

 pochissimi casi, e sol per gruppi assai più ristretti di prop.' primitive. Qui mi restringo a provare 

 l'indipendenza ordinale di quasi tutti i postul.' P-XIX", ossia l'indipendenza di ognuno da quelli 

 che lo precedono. 



Che il IP non sia conseguenza del P fu già rilevato (§1). Ora, se l'ente primitivo [0] si spe- 

 cifica in una ' classe unitaria , (cioè d'individui tutti eguali fra loro), saranno veri il P e il IP, 

 ma falso il III" : onde questo non deriva da quelli. — Se invece [0] sia la classe dei numeri interi 

 positivi, ed ab — con a e. b numeri int.' posit.' — abbia il comune significato aritmetico, sarà falso 

 il IV°, pur essendo veri il P, IP e IIP: ma se ab denoti, p. es., la classe dei numeri razionali 

 compresi fra o e ò, saranno veri ad un tempo i primi quattro post.' e falso il V°. — Se annettendo 

 a [OJ un significato a piacere, d'accordo per altro coi post.' P, IP e IIP, s'interpetra ab (dove a,òe[0]) 

 come segno posto a rappresentare la classe i a ( §1 ) saranno verificati i post.' P-V», ma non il VP. 

 — Se poi la classe [0] si specifica in " punto euclidèo , e la classe ab nella figura " segmento 

 euclidèo terminato in a e 6, ma non contenente gli estremi , (classe dei punti che stanno fra a e b) 

 saranno veri dal P al VI», restando inappagato il VIP. — Se accanto all'interpetraz.» [0] = ' punto 

 euclidèo , si pone ab = \.a'->\b, saranno veri i post.' P-VIP e falso 1' VIIP: ma se ab denoti il 

 ' segmento ab con inclusi gli estremi a e 6 „ saranno veri dal P all' VIIP, non però fino al IX" : 

 come se ab starà in vece di " classe formata dai punti a e b, dal loro punto medio e dai simme- 

 trici di ciascuno de' punti a e 6 rispetto all'altro , riesciranno soddisfatti i primi post.' P-IX" e 

 insoddisfatto il X". — Se [0] denoti la classe dei numeri interi, ed ab parimente, l'XI" principio 

 sarà il primo a non esser verificato. — Se [0] s ' punto euclidèo ,, a6 s " retta illimitata passante 

 per a e b ,, quest'interpretazione conviene ai primi undici postul.', ma è in disaccordo col XIP. — 

 Se [0] = ' retta euclidèa passante per un punto invariabile „ ed «6 = " f a s e i o di rette in cui 

 giacciono « e 6 (sottintesa l'ipotesi «, 6€[0] . o ~^6) sono veri i postul.' I-XII, falso il XIII". 



La possibilità di soddisfare ad un tempo i primi tredici postulati per modo, che ne resti infir- 

 mato il XIV", si prova specificando la classe ' punto prj „ nella figura (considerata in 6. Fano, 

 loc. cit., pag. 9) di 15 punti — p. es. euclidèi — che nasce dai 4 vertici a,b,c, d, d'un tetraedro, 

 da un punto interno e, dalle projezioni a,b',c',d! di quei vertici da questo punto sulle facce 

 opposte ai medesimi, e dalle proiezioni d'ogni terna di vertici, per es. a, b, e, sugli spigoli bc, 



