I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA Dì POSIZIONE. ECC. 59 



La classe [0], per la quale siauo concessi i postul.'I"-X'' (§1), XI' (§ 12), 

 XII«(§3), XIV°(§4), XV-XVII» (§ 5) e X^TH" (§ 9) [e rimossi airincontro i 

 postuli XI» (§ 2), XIII" (§ 4), XIX» (§ 11), XIX', XX', . . . (§ 12)] può chiamarsi 

 " ambiente projettivo assoluto „ o " spazio generale „. La Geometria 

 svolta da questi principi è la Geometria projettiva assoluta (*). 



(*) Il primo a parlar di spazio illimitato anche nel numero delle dimensioni pare sia stato 

 il prof. G. Veronese (Op. cit., pag. 211). — Ne mancano interpetrazioni degli enti primitivi subor- 

 dinate a tutti quei postulati. Denoti, p. es., f(«) una funzione arbitraria, da un sol valore reale, 

 finito e non sempre nullo, della v&vìa,hiìe intera positiva n; fi(«) la classe di tutte le funzioni come 

 af(»): dove a rappresenta un parametro capace di assumere ogni valor reale, finito e diverso da 

 zero: allora la classe di tutte quante le fi («) possibili sarà un'immagine della classe [0] predetta, 

 cioè un ambiente prj assoluto. 



A questo modo un punto prj si può concepire come una classe di CO' serie 



af(l), af(2), af(3), ... «f(» — 1), ai(n),-ai(n-\-\), ...in infinito 



dove la f s'intenda specificata di forma: i numeri af(l), af(2), af(3), ... (determinati, da un fattor 

 comune a in fuori) si potranno chiamar coordinate successive del punto fi. Due punti prj q)i e vi 

 saranno distinti fra loro (§1), se le funzioni <p(») e ^{n) sono linearmente indipendenti: 

 restando allora determinata per mezzo di questi un'intera classe di punti prj ' a(Xcp-)-mp) , (X e |ii 

 parametri reali, finiti e non simultaneamente nulli) che può aversi per " congiungente di qpi 

 con Vi ,. Un punto Xi giacerà fuor di questa congiungente, se le funzioni <p(«), vW, x(») siano 

 linearmente indipendenti: ed allora la visuale di " a(\q3-|-nip) , dal punto Xii ^ale a dire il 

 piano dei punti <Pi, Vi, Xi, verrà ad esser la classe (di classi) di funzioni " a(\<p + nn)-rvx) „, 

 dove X, M, V sien parametri reali, finiti e non capaci di annullarsi tutti ad un tempo. Un individuo 

 (punto prj) di questa classe è dato p. es. dai rapporti di due de' numeri X, n, v col rimanente sup- 

 posto non nullo. Ecc. — Qui 1' XI' postulato si risolve nel fatto che " date k -j- 1 funzioni i{n) linear- 

 mente indipendenti, n'esiste sempre un'altra linearmente indipendente da quelle ,. E si proverebbe 

 altresì che, dati due punti distinti q>, e Vi ed un punto Xi = « (X'ip -(- mV) diverso da entrambi, al 

 segmento prj " ("Pi Xi Vi) , (§5) sono da ascrivere tutti e soli que' punti della retta " Xqj-j-I^V ». 

 pei quali il rapporto -j- prende valori finiti e positivi o rispettiv.' negativi , secondo che ^ è 



positivo negativo. — 



Un esempio ancor più semplice di spazio generale è quello fornito dal " complesso di tutte le 

 equazioni algebriche intere a coefficienti reali (con un'incognita sola) ,. Ecc. — Cfr. S. Pinchekle, 

 Sur le calcul fonctionnel distributif, Chap. I (Mathem. Ann., Bd. XLIX). 



