58 MARIO PIERI 



Nessun impedimento a procedere in questo tenore fin che si vuole. Per una 

 Geometria proj." in cinque dimensioni basterebbe, ad es., rimuovere il XX', ed 

 assumere invece due nuovi principi XX" e XXI", simili a XIX' e XX'. E così, 

 per mezzo d'un numero finito di postulati e precisamente con w -|- 16, è dato 

 il poter definire l'ambiente projettivo come iperpiano di n" specie {n essendo un 

 numero intero maggior di 2): nel quale staranno sempre iperpiani delle classi 

 [3], [4], [5],... [«-!]: ecc. 



Ma si può anche prolungar senza fine quest'ordine di successive estensioni 

 della classe [0]: di guisa che ne risulti una classe contenente iperpiani di specie 

 comunque grande. A ciò si perviene in grazia al principio logico d'induzione (o 

 più tosto di deduzione) completa; raccogliendo in una sola proposizione tutte 

 quante le definizioni degli enti [2], [3], [4], ... — e così tutti i postulati esi- 

 stenziali XI", XIII", XIX', XX", ... — nel modo che appresso. 



Accanto alla Df dell'ente [1] (P15 § 2) pongasi l'altra: 



Vl-Df. " L' " [n] „, " iperpiano prj di w" specie „ — posto che n sia numero 

 " intero maggior d'uno — è la classe di tutte le figure tali che per una qua- 

 " lunque di esse, sia per es. x, si può sempre trovare un'altra figura y della 

 " classe " [«— 1] „ , ed un punto a fuori di y, per modo che x coincida con la 

 " visuale di y da a. „ — Questa e la P15 § 2 costituiscono insieme una defini- 

 zione induttiva (*): la quale determina pienamente il valore del segno [w], per n 

 intero positivo dato a piacere: ed è propriamente una Df nominale; perchè for- 

 nisce di seguito il significato preciso dei termini [1], [2], [3], [4], . . . fino ad un 

 numero n grande quanto si vuole. Per mezzo di essa il seguente : 



POSTULATO Xr. 



P8^Se n è un numero intero positivo e a è un [«,], esiste almeno un punto 

 projettivo che non appartiene a g. 



compendia, racchiudendoli sotto un'unica formula, tutti quanti i giudizi esisten- 

 ziali XI°, XIII», XIX', XX", . . . (**) e può far le veci di questi. Onde resterà 

 senz'altro affermata la realtà della classe [w] ; cioè: 



P9-jrr. " Purché n sia un numero intero positivo, esisteranno sempre degli [w]. „ 

 [Suppongasi w > 1, e che esista almeno un [n — 1]. Allora non è assurda l'ipo- 

 tesi •' «/e[?j — 1] „, e però (P8) nemmeno la propos.^ " ae[0]-y ,: sicché la con- 

 dizione " x(.\n\ „ sarà soddisfatta da x = ay (P7). D'altra parte è vera l'esistenza 

 di rette prj (P6 § 1, P15 § 2); onde il Tr, vero per w = l, dovrà sussistere per 

 qualsivoglia n, grazie al principio d'induzione completa.] (***). 



(*) Di seconda specie, giusta la classificazione del prof. Burali-Forti (Op. cit., pag.' 100-103 

 e 126-128). 



(**) Non altrimenti accade p. e. nell'assioma aritmetico ' Se a è un numero, il successivo di a è 

 un numero , — ohe si pub sciogliere in infinite propos.': " Se 1 è un numero, il successivo di 1 

 (cioè 2) è un numero; se 2 è un numero . . . , 



(***) Viceversa dal Tr si deduce (P7) il postul." XI': onde questo potrebb'esser sostituito da quello. 



