I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 



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F2-Df. " Dicesi " iperpiano prj di quarta specie „ e si rappresenta con " [4] , 

 " la classe di tutte le figure, ognuna delle quali è visuale d'un qualche iperpiano 

 " di terza specie da un qualche punto prj che non appartenga al medesimo. „ 

 — Dunque la proposizione " p è un iperpiano prj di 4* specie „ — " pe[4] „ — 

 compendia l'altra: " esistono cinque punti prj a,b,c,d,e non giacenti in uno 

 stesso iperpiano di 3» specie, ma tali che p — aJctie „. 



In ordine a detta figura si osservano proprietà molto simili alle P8-18§11: 

 sulle quali ci sarà permesso trascorrere a motivo di quest'analogia (*). 



F3-Tr. " Dati una retta ed un piano arbitrari: ovvero un iperpiano di 3» specie ed 

 " una retta che incontri questo : ovvero due piani aventi un punto comune : 

 " ovvero un iperpiano di 3" specie ed un piano contenenti una stessa retta: 

 " ovvero due iperpiani di 3'' specie contenenti un medesimo piano: esiste sempre 

 " un iperpiano di 4^ specie che li contiene. „ [li Tr dipende da XIX' in -quanto 

 " non si esclude, ad es., che quella retta e quel piano arbitrari s'incontrino: ecc.] 



Pé-Tr. " Viceversa, due iperpiani di 3* specie; un iperpiano di 3=' specie ed un piano; 

 " un iperpiano di 3» specie ed una retta; due piani arbitrari, avrannno rispet- 

 " tivamente a comune un piano, una retta, un punto almeno: semprechè giac- 

 " ciano in un medesimo iperpiano di 4^ specie. „ 

 E se per ultimo accettiamo il seguente: 



POSTULATO XX'. 



P5. Essendo a, b, e, d, e punti projettivi non giacenti nello stesso iperpiano di 

 terza specie, ed f un punto proj.'' non giacente in alcuna delle figure 

 ahcd, alce, abde, acde, bcde: l'iperpiano hcde sarà sempre incontrato dalla 

 retta af. (Cfr. P19 § 11) 

 ne verrà di conseguenza che: 



¥6-Tr. " Nella stessa HpPS, la figura aftctie coinciderà con l'ambiente, o spazio, 

 " projettivo „; " abcde = [0] „. Onde " La classe dei punti prj sarà un iperpiano 

 di quarta specie, e viceversa „ — Cfr. P21 § 11. 



Ora dall' antecedente P4 si può toglier la restrizione " semprechè giacciano 

 in un medesimo iperpiano di 4» specie „ ; e di più gli enti " iperpiano di 3* specie „ 

 e " fascio d'iperpiani ^di 3» specie) contenenti un medesimo piano „ si potranno 

 interpetrar come " punto prj „ e " retta prj „, cosi da far luogo ad una per- 

 fetta corrispondenza o reciprocità fra gli enti [0], [1], [2], [3] da una parte, e 

 gli enti [3], [2], [1], [0] dall'altra. Dai postul.' I-XVHI, XIX' e XX' avremo in 

 somma la Geometria prò}."' nello spazio a quattro dimensioni (**). 



(*) Ved. p. es.: Veronese, Projectivische Verhiiltnisse etc. (' Math. Ann. ,, Bd. XIX). 



(**) Qui, come sempre, il termine 'spazio , è serbato a denotare la ' massima figura , o 

 ' classe dei punti prj „(§!). Lo spazio da 4 dimensioni presuppone il postul." XX': non così 

 l'iperpiano di 4" specie. 



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