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ed [1] vengono sostituiti dagli enti " piano prj , e " fascio di piani prj , ; e dopo 

 ciò l'ente [2], per solo fatto della sua definizione formale, acquista il significato 

 di " punto prj „, mentre il fascio di piani si converte per egual modo in " retta 

 prj ,. La qual reciprocità, o simmetria, che non si riscontra generalmente altrove (*), 

 conferisce un rilievo speciale a queir interpetrazione. — Pertanto la legge di 

 dualità geometrica rientra in un principio assai più generale, non spettante 

 alla Geometria più che ad altra scienza deduttiva: principio al quale conver- 

 rebbe anzi il nome di legge di pluralità. 



F2B-Df. " Ogni singola modificazione o interpretazione degli enti primitivi " punto 

 " prj „ e " congiungente due punti prj distinti „ , la quale obbedisca in tutto i 

 " postul.' P-XIX", è una rappresentazione dell'ambiente (o spazio) prj ordinario: 

 " 0, più brevemente, è uno spazio ordinario. Lo " spazio ordinario „ è la classe 

 " di tutte le interpetrazioni possibili nel dominio di quei postulati. , 



Di qui e dalle P21, 17, 7 procede che: " Ciascun iperpiano di 3» specie è uno 

 spazio ordinario, e viceversa „. — Ma, quand'anche per gli enti [0] ed [1] fosser 

 noti soltanto i postul.' P-XVIIT», si potrebbe interpetrar nondimeno come 

 spazio ordinario, secondo la Df predetta, un qualsivoglia iperpiano di .3^ specie 

 dato: bastando a ciò modificare il contenuto generico di [0] ed [1] in quello 

 di " punto prj e retta prj giacenti nelV iperpiano stesso „ Ved. P15. 



§ 12». 

 L'iperpiano prj." di «" Specie e lo spazio prj.' assoluto (**). 



Ci resta da esaminar brevemente, come abbiam detto, l'ipotesi opposta al prin- 

 cipio XIX" (P19§H): e però questo si deve intender soppresso in tutto il pre- 

 sente § (***). La sua negazione si accetterà nella forma seguente (Cfr. Pll§4): 



POSTULATO XIX'. 



PI. Se a, h, e, d sono punti projettivi non complanari, esiste almeno un punto 

 proj." non situato in abcd. — Cioè: " Dato un iperpiano di terza specie, fuori 

 di esso giace almeno un punto prj ,. 



Pertanto la visuale d'un [3] da un punto esterno al medesimo sarà una figura, 

 di cui al presente non si può negar la realtà: quantunque ben potevasi consi- 

 derarla e studiarla indipendentemente dai postulati XIX° e XIX'. 



(*) Ugual reciprocità manifestano la " dualità fra punto e retta „ — cioè l'interpetrazione degli 

 enti punto e retta di un piano come ' retta , e ' fasrio di rette , spettanti ad un piano — eia 

 ' dualità fra retta e piano ,, o dualità nella stella- — In un dato iperpiano di terza specie sussiste 

 una dualità fra ' punto „ e " piano „, che non dipende dal postul." XIX" (nelle propos.' deiivanti 

 dai postul.' I^-XV!!!"): ma questa non è da confonder con l'altra. 



(*•*) Ved. Hio, §§ 1-4. 



(***) Si potranno invocar nondimeno tutte le prop.' antecedenti a P19 § 11. 



