1 PRINCIPII DELLA GEOMKTRIA DI POSIZIONE, ECC. 55 



giacerà in hcd, la Th è senz'altro avverata. Sea, e-e&c<i, ma e giace in alcuno 

 dei piani ahc, ahd, acd, la congiungente ae taglierà hcd sopra alcuna delle rette 

 hc,cd,hd: grazie a P8 § 3 e P3. Resta soltanto l'Hp contemplata in P19.] 



In somma è provato che " un piano prj ed una retta prj hanno sempre almeno 

 un punto a comune „. — Ma non dee sfuggire al Lettore il divario tra questa P20 

 e la P15 — indipendente dal postai." XIX° — la quale suona invece così: " una 

 retta ed un piano giacenti in un medesimo iperpiano di 3" specie hanno sempre 

 almeno un punto comune „. Il XIX" ha per effetto di render superflua la restri- 

 zione in corsivo; e questo interviene, come si vedrà, di moltissimi casi. — Il 

 Tr seguente pone in vista l'ufficio del postulato XIX", che è di costringere 

 r " ambiente proj." „ (o classe dei punti prj) nei confini d'un iperpiano di terza specie. 



P21-Tr. " Se a, b, e, d sono punti prj non complanari, ogni punto prj dovrà giacere 

 " in abcd. „ — Ossia 1' " ambiente prj „ coincide con abcd; [0] := aicd. [Che 

 aeahcd già si sa. Ma per ogni altro punto prj e(e~ = a) si può asserir l'esi- 

 stenza d'un punto comune alle forme ae,bcd {P20); ossia d'un punto y radice 

 della condizione " t/ebcd . e^cii/ „: ved. P7.] 



'P22-Tr. " Dati due piani prj a piacere, v'è sempre una retta prj che giace in 

 " entrambi. „ [In un piano tt si abbiano i punti h, e, d non collineari, in un 

 piano tt' i punti non collineari a, e, f. Supposto tt ~ = tt' (si omette il caso di 

 TT = tt'), uno almeno de' punti a,e,f — p. es. a — sarà esterno a tt: sicché le 

 rette ae, af (P7 § 2) taglieranno ti (P19 § 3, P20) in punti e',f necessariamente 

 distinti fra loro e da a (P2.5 § 1, PIO § 2). Ora la retta e'f sarà comune ai piani 

 aef, hcd (P20 § 3).] 



La P16: " due piani prj giacenti in un medesimo iperpiano di 3'^ specie hanno 

 sempre una retta prj in comune „ è vera quantunque si faccia astrazione dal 

 post.^XIX": ma il suo contenuto è allora molto diverso da quello che spetta 

 alla P22. — Come già si scopre in P22, l'ultimo postul." ha per effetto altresì 

 di stabilire una dualità perfetta fra il punto prj „ e il " piano prj „: secondo 

 la quale ogni propos.*, che sia conseguenza delle propos.' primitive I-XIX, trova 

 compimento in un'altra, che nasce da quella scambiando fra loro gli enti [0] 

 e [2] e in pari tempo la " congiungente due punti distinti „ col " fascio dei 

 piani contenenti la retta comune a due piani distinti „. La ragione di questo 

 fatto è ben semplice. Qualunque figura è un sistema di punti prj e di rette con- 

 giungenti i medesimi: talché, per ogni singola interpetrazione che si conceda 

 a questi enti primitivi " punto prj „ e '• congiungente due punti prj distinti „, 

 tutte le figure acquisteranno, mercè le loro definizioni, un significato spe- 

 ciale, e un contenuto avente lo stesso grado di determinazione specifica che 

 si annette a quell'interpetrazione (Ved. § 1). Le interpetrazioni o specificazioni 

 degli enti primitivi sono al tutto arbitrarie: a patto, s'intende, di tener conto 

 per ogni singolo caso delle propos.' soltanto, che nascono da premesse verificate 

 in quello. E ogni qualvolta si attribuisca a ciascuno degli enti [0] ed [1] un 

 significato speciale, onde risultino veri senza eccezione i postulati P-XK", si 

 ottiene un'interpetrazione, o rappresentazione, di tutta quanta la Geom.=" proj.* 

 ordinaria. Così è per appunto nell'esempio di cui si parlava: dove gli enti [0] 



