54 MARIO PIERI 



ahcdjebcd,f€ebcd,fehecd, hefecd, hecd^feed, uhcdjfecd, (jefecd, gecfed, c(.gfed, 

 efedo gf ed, abcd^gfed, hegfed, hedgfe, dehgfe, dgfe^hgfe, nhcd^hgfe. Sicché 

 resta provata l'eguaglianza ahed =^ efgh.] 



PIB-Tr. " Se, ferma stante l'HpPS, siano e, f, g punti non collineari, ed h, i punti 

 " non coincidenti; e sì gli uni come gli altri appartengano ad abcd: allora il piano 

 " efg dovrà avere almeno un punto in comune con la retta hi. „ [Ove uno almeno 

 dei punti h, i giaccia sul piano efg, la Th sarà vera senz'altro. Se all'incontro 

 ciascuno de' punti h, i sarà esterno al piano efg, per certo (/;, e, f, g) ~~ Cp (P2, 1) ; 

 onde abcd = ìiefg (Plrt) e p. e. iehefg: ma questo {P7) è affermar l'esistenza d'un 

 punto y tale che " g^efg ed iehi/ „; vale a dire d'un punto y comune alle figure 

 efg ed hi (P14 § 1 e P4).] — Di qui facilmente anche l'altra: 



PIB-Tr. " Essendo a,b,c,d,e,f.g come sopra, ed h,i,l punti non collineari di aftcc^, 

 " esisterà sempre una retta prj comune ai piani prj efg, MI. „ 



Vll-Df. " L'" iperpiano prj di terza specie „ — significato da " [;^] „ — sarà la 

 " classe di tutte le figure soddisfacenti alla condizione seguente in a: esi- 

 " stono quattro punti prj a, b, e, d non complanari, e a coincide con abcd. „ — 

 In somma: " Ciascun [3] non è altro che la visuale d'un piano prj da un punto 

 esterno al medesimo „. 



Valgono le reciproche di P15, 16; ossia: 



P18-Tr. " Due rette prj che non si taglino: ovvero un piano prj ed una retta prj, 

 " pur ch'abbiano un punto a comune, ma non pili d'uno: oppure due piani prj 

 " che s'incontrino lungo una retta senza coincidere, giacciono sempre in un deter- 

 " minato iperpiano di terza specie. „ 



Le prop.' 1-18 di questo § sono indipendenti dai postul.' XIII''-X Vili" : ma, 

 una volta ammesso il XIIP, non si potrà impegnare la propos.'= " esiste almeno 

 un [3] „ — Pur non si potrebbe asserire o negare in forza del XIIP, ne di alcun 

 altro principio fra quelli accolti fin qui, l'esistenza di più figure come abcd, ben 

 inteso non coincidenti fra loro: a,b,c,d essendo punti prj non complanari. 

 All'arbitrio nostro il decidere siffatta questione, tuttora impregiudicata: se cioè 

 la classe dei punti prj si esaurisca o no con un solo iperpiano di terza specie. 

 Noi toccheremo entrambe le ipotesi: di cui si può dir che la prima — come 

 quella che piìi ravvicina il concetto di " classe dei punti prj „ a quello di " spazio 

 fisico „ — è più conveniente agli scopi della Greom." proj.^' ordinaria; dove l'altra 

 prepara il terreno ad una Geometria molto piìi generale (Ved. il § 12). 



POSTULATO XIX». 



P19. Se «, b, e, d sono punti proj.' non complanari, per ciascun punto proj.° e, 

 non situato in alcuno dei piani abc, abd, acd, bcd, dovrà esistere almeno 

 un punto comune alle figure ae, bcd. 



F20-Tr. " Se h, e, d sian punti non collineari, ed a, e punti non coincidenti, il piano 

 " bcd e la retta ae s'incontreranno. „ Cfr. PI 5. [Se uno almeno de' punti a ed e 



