I PRINCIPI! DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 



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visto che h appartiene a ì)cd senza coincider con a (P3, 4 e P7 § 3). E, dal mo- 

 mento che hc^hcd, ad ogni punto x del piano ahc si potrà coordinare in hcd 

 un punto ij tale, che x appartenga ad mj (P6§3): onde abcoabed; ecc.] 



P9-Tr. " Sotto la stessa HpP8, affinchè un punto e diverso da a giaccia in abcd, 

 " vuoisi, per condizione necessaria e sufficiente, che il piano bcd e la retta ae 

 " s'incontrino. „ Cfr. P8 § 3. 



PlO-Tr. " E se, nella stessa HpP8, e sia punto di abcd, purché diverso da h, la 

 " retta be sarà tutta contenuta in questa figura. „ Cfr. PIO, 12 § 3. [Tolgasi un 

 punto a' su bcd per modo, che sia eeaa' (P7); e un punto e' in ed per modo che 

 a'ibc' — conforme ad fój)P6 § 3 e P3. Poiché be' Q bcd, e p. e (a, b, e') - CI (P4, 

 P9, 5 § 2) e abc' Q abcd (PI § 3); e inoltre (P6 § 3) eeabc'; si ricade in (j;;)P12§3.] 



Pll- Tr. " Essendo sempre a, b, e, d punti prj non complanari, tutte e quattro le figure 

 " abcd, bacd, cabd, dabc coincidono. „ Cfr. Pll, 13 § 3. [Per qual si voglia punto e 

 di abcd sarà come dianzi abc'^abcd, ee(abc'); quindi bac'^bacd, e di piìi 

 (Pll § 3) e€(èac'): onde eebacd. ecc.] 



P12-Tr. " Dati a, b, e, d come sopra, e presi nella figura abcd due punti e, f a piacere 

 " purché non coincidenti, la lor congiungente ef giacerà tutta in abcd. „ Cfr. 

 P20 § 3. [In &crf siano e',f' due punti per cui eeae', fe.af'{P7): se e' = /"' e p. e. 

 ef=ae' (P4, P25 § 1) si ritorna (P8) a PIO. Se poi e' ~ = /", concorrono le relazioni 

 e'f bcd (P20 § 3), («, e', f) - CI (P5 § 2), ae'f abcd (Pl§3), efo ae'f (P7,20§3): 

 onde e/"o abcd.^ 



P13-r»-. " Posto che siano a, b, e, d punti prj non complanari, ed e, f, g punti dell'iper- 

 " piano abcd non collineari, il piano efg starà tutto in abcd. „ [Nel piano efg 

 tolgasi un punto x a piacere, e nella retta fg (P6 § 3) un punto y tale che xeey. 

 Ora fg abcd (P12, P7 § 2) e p. e. yi.abcd: dunque (P9 § 2) si può di nuovo allegar 

 la P12 e concluder che ego abcd, onde xeabcd.] 



P14- Tr. " Dati et, b, e, d come sopra, se e, f, g, h sono punti non complanari che appar- 

 " tengono ad abcd, le figure abcd, efgh coincidono. „ — Che è quanto dire: 

 " Ciascun iperpiano di terza specie é individuato da quattro de' suoi punti 

 scelti a piacere, purché non complanari „. Cfr. P19 § 3. 



[Invero, da " xeefgh „ si deduce, qualunque sia x, l'esistenza d'un punto y tale 

 che " yefgh e xeey „ (P7): ora quest'y, e p. e. anche ey ed x, giaceranno in abcd 

 (P13, 4, 12); sicché efgh o abed. — Per la reciproca si osservi in primo luogo che 

 é lecito supporre ad un tempo (e, b, e, d)~Cp, [f, e, e, d)-^Cp e (g, f, e, d) ^ Cp: 

 perciò che uno almeno de' punti e, f, g, h — p. es. e — cadrà fuori del piano 

 6cfi(Pl,3); oltre che per gli stessi motivi (atteso anche le P2 e P7 § 3) uno 

 almeno dei rimanenti f, g, h — p. es. f — sarà esterno al piano eed, ed uno dei 

 rimanenti g, h — p. es. g — esterno al piano efd. Secondariamente si avverta 

 che da " peqrst „ si deduce " qe2>rst „, semprechè q,r,s,t, come anche p, r, s, t, 

 siano punti prj non complanari: infatti da. " ze.rst e peqz „ nasce " zerst eqepz ,, 

 — a tenore di P3, 4, e P16, 10§1. Da tutto questo procedono, l'una appresso 

 dell'altra, le relazioni seguenti (avuto anche riguardo alle P7 § 3, Pll, 8): aeebed. 



