52 MARIO PIERI 



§ 11". 



L'iperpiano projettivo di terza specie e lo spazio ordinario. 



Pl-Df. " Essendo a, b, e, d punti prj, con uno de' seguenti modi " a, b, e, d son com- 

 " planari (o compianano) „, " («, b, e, d)Cp „ s'intende affermar l'esistenza di tre 

 " punti X, y, z non collineari, e che al piano xyz di questi appartengano i punti 

 " a. h, e, d. ,, — Sicché (guardando a P14 § 3) la propos.'^ " (a, b, e, d)Cp , torna 

 equivalente a quest'altra: " esiste un piano prj in cui giacciono i punti a,b,c,d „. 

 Da questa Df e dai principi svolti ai §§ 1-3 (cioè dai postul.' P-XII") nascono 

 le seguenti P2-6 ; che per molte analogie s'accostano a certe altre sulla relazione 

 d'allineamento (§ 2). 



P2-Tr. " Se «, b, e, d sono punti prj ed a, b, e non collineano, ciascuna delle due pro- 

 " posizioni " d appartiene al piano abc „ e " a, b, e, d compianano ,, è conseguenza 

 " dell'altra. „ Cfr. P2, 8, 5 § 2. 



FB-Tr. " Se «, b, e, d siano punti non complanari, saranno eziandio tre per tre non 

 " collineari. „ Cfr. P6, 7 § 2. 



Pé-Tr. " E ciascuno esterno al piano che unisce i tre rimanenti. „ Cfr. P8 § 2. 



Fb-Tr. " Essendo a, b, e, d punti non complanari, e un punto non allineato sui punti 

 " a e b, non potranno esser complanari ad un tempo i punti a, b, e, e da una 

 " parte, e i punti a, b, d, e dall'altra. , Cfr. Pll, 12 § 2. 



P6- Tr. " Quattro punti a, b, e, d son complanari per certo, se esista un tal punto e 

 " per cui sian complanari tanto «, b,c,e, quanto (a, b, d, e), {a, e, d, e), (b, e, d, e). „ 

 Cfr. P13, 14 § 2. 



Dati i punti a, b, e, d non complanari, sarà data per mezzo di questi anche 

 una nuova figura: la visuale del piano bcd dal punto a {P3, P7 § 2, PI § 3). 

 Anzi (Cfr. P6§3): 



Vl-Tr. " Se a, b, e, d siano punti prj non complanari, la figura abcd — congiungente 

 " di a con bcd — non è altro che il luogo d'un punto prj x, per cui si veri- 

 " fica la condizione: " esiste sul piano prj bcd un punto y tale che x appar- 

 " tenga ad ay. „ | L'iZp — grazie a P3, 2 e P6 § 3 — involge che b, e, d 

 non siano allineati, e che ogni bcd sia distinto da a: sicché basta addurre 



(;: *;')pi § 3.] 



Per qual si voglia figura abcd costruita nel modo anzidetto (alla quale si può 

 annetter fin d' ora la denominazione di spazio lineare a tre dimensioni, o iper- 

 piano prj di terza specie, come in P16) si dimostrano senz' alcun nuovo prin- 

 cipio — ed è questo un fatto notevole — proprietà in tutto simili a quelle già 

 osservate in ordine al piano prj (§ 3), e che si reggono, al pari di queste, prin- 

 cipalmente sul postulato Xn». 



P8-2'>-. " Essendo a, b, e, d punti non complanari, ciascuno dei piani abc, abd, acd, bcd 

 " sarà contenuto in abcd. „ Cfr. P7 § 3. [Che bcd;:) abcd lo attesta (p', ^PS § 3, 



