I PRINCIPII DKLLA GEOMETRIA DI POSIZIONE. FCC. 51 



quindi che a'e{cae), vale a dire che ee(aca'). Da tutto ciò segue (P9§6): 

 ■{a'ec') uxa'uic' j {aec); oltre che (P4 § 6) c'efaca'), e p.c. ce{a'e'a) (P6, 2 § 5). Sono 

 dunque verificate le ipotesi della P12 § 9 dalla trasforraaz." t e dai punti a, e, 

 c,a',e',n'; e pertanto non sarà assurda rispetto a 2; la proposizione: 



ze(a'ec') .z^^tz r. ui{aec) .zi.{acu) : o„ . m -^ =tm 



Insomma esisterà nel segm." (a'ec') un punto unito z si fatto, che, se Me>-~ 

 ~ [acz) ~ ia~ i^ [onde ui.{cza), ue{aec), e di più (P17 § 5) ze{acu)] il punto u non 

 è per certo unito. 



Si osservi ancora che dalle relazioni c~ 6(ea/"), e' - e(ea'/"), (a'ec') («ec) segue 

 [afe) u la o ic (a'fc) (P9 § 5, P18§6): sicché la stessa P12§ 9 si può anche invo- 

 care per la trasform.« t, inversa di t (P6) e pei punti a', f, e', a, /", e. Esisterà 

 dunque nel segmento (afe) un punto unito ij sì fatto che, se uer~{a'c'y)-^ìa' ^uj, 

 il punto ?< non è unito. E poiché da (afe) Q [a'fe), ce(a'c'a) ed y^iafc) si deduce 



— a tenore della G;m!^ìva")P14 § 6 — che da u-e(aci/) segue u~e(a'c'y), a 

 fortiori non potrà essere unito alcun punto della figura r~(ac2/) - ifl' - ly. 

 Questo fatto e il somigliante già osservato per z, ove si guardi che ni uno dei 

 punti a, a' è, per Hp, unito, permettono d'asserire qualmente: 



wer - (acz) ~ 12 . u . uer - («cy) - ly : 0„ . «. ~ = tm. 



Non é detto che z debba esser diverso da e, «/ da /": ma i punti i/,z sono al 

 certo distinti fra loro e dai punti a, e, a', e': ne può darsi che z coincida con/', 

 y con e (P32 § 5). Ora, da ze.{aec) si deduce zer - (afe); e d'altra parte abbiamo 

 y^(afc): dunque 2;er ~ (ayc), vale a dire cer ~ (yaz); e p.c. ce(azy) e (azy) = (acy), 

 come pure cè(ayz) e (ayz) ^ (acz). Ma si sa (P21, 4 § 5) che: 



uiiyaz) . 0„: «€/• -- (azy) --ly .u . uer^(zya)^ iz; 

 pertanto : 



ue(yaz) . o„ . m ~ = tu 



Infine, dall'essere z ^ e(ace) [che se no risulterebbe re distinto da e] mentre 

 yf.(afc) [e però y-^e(aec),ye{eca), (eco) ^= (etja)] si deduce che z^€(eya), quindi 

 (Pll§5) che e-e(yaz), e p. e. (P29 § 5) che {yaz)o(yae) oppure {yaz) = (yae), 

 secondo che z-^ = e oppur z ^ e. Similmente, dall'essere y~f.(a'c'f) [che se no 

 risulterebbe t/ distinto da f] e però anche (P7) y~^(acf)\ mentre e ^ e{eaf) 

 [onde ce{aef) e (aef)=:{acf)] si deduce che y^e(aef), ossia che f^e(eay), e 

 p. e. che (eay)Q(eaf) oppure (eay) =: (eaf) , secondo che y^ = f oppure y = /'. 

 Ne viene che il segmento {yaz) è contenuto nel segmento (eaf): sicché dalla 

 supposizione a^e(egf), ossia g^i.(eaf), introdotta fin da principio, si deduce 

 che 5' ~ e (yaz) u ly u 12;; e p. e. che Arm(y, z, g) e (yaz) (P23 § 5). Tale è appunto 

 l'assurdo a cui si perviene: che, mentre s'è visto come niun punto del segmento 

 (yaz) possa esser unito, qui trovasi invece che l'armonico di g rispetto ad y e 2: 



— il quale (Pò, P12, 13 § 4) è per certo tautologo — giace in detto segmento. 



